姜启源编《数学模型》第四版 第5章
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需建立 i (t ), s (t ), r (t ) 的两个方程.
模型4
SIR模型
N [i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
i[i (1
/
1
)]
~ 日接触率
1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
模型3
di/dt
di 1 i[i (1 )] dt
>1
i i0
接触数 (感染期内每个 病人的有效接触人数)
i i0
>1
1
di/dt < 0
QK L QL K 1
K w L 1 r
w , r ,
K/L
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 假设 • 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产)
i0 s0 1 (通常r(0)=r0很小)
无法求出 i (t ), s (t )
的解析解
先做数值计算, 再在相平面上研 究解析解性质
模型4
SIR模型的数值解
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用 MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
0.4
di dt si i, i (0) i0 ds si, s (0) s 0 dt
1-1/ O 1-1/ 1 i
i0
O
1 1 , 1 i ( ) 0, 1
1
t
O
t
i(t)单调下降
>1, i0< 1-1/
i(t)按S形曲线增长
感染期内有效接触使健康者感 染的人数不超过原有的病人数
接触数 =1 ~ 阈值
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
dL L dt
dK Q, 0 dt
L(t ) L0e t
• 劳动力相对增长率为常数
Q f 0 Lg ( y )
g ( y) y
dK f 0 Ly dt
K y , K Ly L
dK dy L Ly dt dt
3) 经济增长的条件
dK f 0 Ly dt
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
1 ） Douglas生产函数 产值Q, 资金K, 劳动力L, 技术f0 静态模型
Q( K , L) f 0 F ( K , L)
每个劳动力 y K 的投资 L
每个劳动力 z Q 的产值 L 模型假设
z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
i
P1 O s 1/
x 2 s0 ( s0
s0 - 1/ =
1
)
提高阈值1/
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系. • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大. • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长. 1 ）道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 劳动力 L(t)
技术 f(t) = f0 (常数)
i
1 D
P4
s(t)单调减相轨线的方向
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0 1
P2
im
P1 P3
O
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
Logistic 模型
i (t )
1 1 t 1 1 e i0
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
1
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
Q QK K
Q( K , L) f 0 K L
1
KQK , Q Q QL ~单位劳动力创造的产值
L
~单位资金创造的产值
LQL 1 Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额
1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
Q ( K , L) f 0 K L , 0 , 1, f0 0
消去dt
1 di ds s 1 i s s i0 0
相轨线
相轨线 i (s ) 的定义域
s i( s) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i (s ) 的图形，进行分析
0.6
0.5 0.4
0.3
0.5 0.5
0.5
1.0 1.25
0.70
0.70 0.70
0.02
0.02 0.02
0.3056
0.6528 0.6755
0.0518
0.0200 0.0200
,
s , im
s0 (r0 )
s , im
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
第五章
5.1
微分方程模型
传染病模型
5.2
5.3
经济增长模型
正规战与游击战
5.4
5.5 5.7
药物在体内的分布与排除
香烟过滤嘴的作用 烟雾的扩散与消失
5.6 人口的预测和控制 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程.
• 分析对象特征的变化规律.
• 预报对象特征的未来性态.
z Q / L f0 g ( y)
Q f 0 L( K / L)
g ( y) y ,
0 1
g(y)
Q( K , L) f 0 K L1 Douglas生产函数
Q Q , 0 K L
2Q 2Q , 2 0 解释含义？ 2 K L
O y
1 ） Douglas生产函数
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 资金和劳动力创造的效益 劳动力付工资 w
S Q rK wL
求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大.
S S 0, 0 K L
KQK , Q LQL 1 Q
QK r QL w
dK dy L Ly dt dt
dy y f 0 y dt
Bernoulli方程
1 1
f f 1 y (t ) 0 ( y0 0 )e (1 ) t
y0 K 0 / L0 , Q0 f 0 K 0 L0 , K 0 Q0
s0
s
小, s0 1
x 2
降低被传染人数比例 x
传染病模型
模型1 模型2 (SI)
区分病人 和健ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人 考虑治愈
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律,
预报高潮时刻, 预防蔓延手段. 模型4: 数值计算与理论分析相结合.
5.2
经济增长模型
O
D
s
1
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
相轨线 i (s ) 及其分析
1 di 1 ds s i s s i0 0
SIR模型
s i(s) ( s0 i0 ) s ln s0 1
1 0.8 0.6 s(t)
i
0.3 0.2
相轨线i(s)
0.4 0.2 0 i(t)
0.1 P0
s
1
0
10
20
30
40
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
i(t)从初值增长到最大; t, i0. s(t)单调减; t, s0.04.
模型4
SIR模型的相轨线分析
/
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [i (t t ) i (t )] Ns(t )i (t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
• 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
5.1 传染病模型
背景 与 问题
传染病的极大危害(艾滋病、SARS、) • 描述传染病的传播过程. • 分析受感染人数的变化规律. • 预报传染病高潮到来的时刻. • 预防传染病蔓延的手段.
1/ s0 i0
0.3
0.3 0.5 0.5 0.3
0.3
0.5 1.0 1.25 0.3
0.98
0.98 0.98 0.98 0.70
0.02
0.02 0.02 0.02 0.02
0.0398
0.1965 0.8122 0.9172 0.0840
0.3449
0.1635 0.0200 0.0200 0.1685
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者.
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i (t ), s (t ), r (t ).
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
基本 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理, 方法 而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
di i dt i (0) i0
i (t ) i0 e
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
模型4
预防传染病蔓延的手段
• 提高移出比例r0
s i
• 降低日接触率 • 提高日治愈率
1
0.6 0.5 0.4 1
以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.
t
t i ?
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i (t ), s (t ) . 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/ ~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0 s0 i0 r0 1 群体免疫
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni(t )t
di si dt
s(t ) i (t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型4
SIR模型
N [i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
i[i (1
/
1
)]
~ 日接触率
1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
模型3
di/dt
di 1 i[i (1 )] dt
>1
i i0
接触数 (感染期内每个 病人的有效接触人数)
i i0
>1
1
di/dt < 0
QK L QL K 1
K w L 1 r
w , r ,
K/L
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 假设 • 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产)
i0 s0 1 (通常r(0)=r0很小)
无法求出 i (t ), s (t )
的解析解
先做数值计算, 再在相平面上研 究解析解性质
模型4
SIR模型的数值解
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用 MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
0.4
di dt si i, i (0) i0 ds si, s (0) s 0 dt
1-1/ O 1-1/ 1 i
i0
O
1 1 , 1 i ( ) 0, 1
1
t
O
t
i(t)单调下降
>1, i0< 1-1/
i(t)按S形曲线增长
感染期内有效接触使健康者感 染的人数不超过原有的病人数
接触数 =1 ~ 阈值
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
dL L dt
dK Q, 0 dt
L(t ) L0e t
• 劳动力相对增长率为常数
Q f 0 Lg ( y )
g ( y) y
dK f 0 Ly dt
K y , K Ly L
dK dy L Ly dt dt
3) 经济增长的条件
dK f 0 Ly dt
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
1 ） Douglas生产函数 产值Q, 资金K, 劳动力L, 技术f0 静态模型
Q( K , L) f 0 F ( K , L)
每个劳动力 y K 的投资 L
每个劳动力 z Q 的产值 L 模型假设
z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
i
P1 O s 1/
x 2 s0 ( s0
s0 - 1/ =
1
)
提高阈值1/
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系. • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大. • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长. 1 ）道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 劳动力 L(t)
技术 f(t) = f0 (常数)
i
1 D
P4
s(t)单调减相轨线的方向
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0 1
P2
im
P1 P3
O
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
Logistic 模型
i (t )
1 1 t 1 1 e i0
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
1
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
Q QK K
Q( K , L) f 0 K L
1
KQK , Q Q QL ~单位劳动力创造的产值
L
~单位资金创造的产值
LQL 1 Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额
1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
Q ( K , L) f 0 K L , 0 , 1, f0 0
消去dt
1 di ds s 1 i s s i0 0
相轨线
相轨线 i (s ) 的定义域
s i( s) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i (s ) 的图形，进行分析
0.6
0.5 0.4
0.3
0.5 0.5
0.5
1.0 1.25
0.70
0.70 0.70
0.02
0.02 0.02
0.3056
0.6528 0.6755
0.0518
0.0200 0.0200
,
s , im
s0 (r0 )
s , im
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
第五章
5.1
微分方程模型
传染病模型
5.2
5.3
经济增长模型
正规战与游击战
5.4
5.5 5.7
药物在体内的分布与排除
香烟过滤嘴的作用 烟雾的扩散与消失
5.6 人口的预测和控制 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程.
• 分析对象特征的变化规律.
• 预报对象特征的未来性态.
z Q / L f0 g ( y)
Q f 0 L( K / L)
g ( y) y ,
0 1
g(y)
Q( K , L) f 0 K L1 Douglas生产函数
Q Q , 0 K L
2Q 2Q , 2 0 解释含义？ 2 K L
O y
1 ） Douglas生产函数
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 资金和劳动力创造的效益 劳动力付工资 w
S Q rK wL
求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大.
S S 0, 0 K L
KQK , Q LQL 1 Q
QK r QL w
dK dy L Ly dt dt
dy y f 0 y dt
Bernoulli方程
1 1
f f 1 y (t ) 0 ( y0 0 )e (1 ) t
y0 K 0 / L0 , Q0 f 0 K 0 L0 , K 0 Q0
s0
s
小, s0 1
x 2
降低被传染人数比例 x
传染病模型
模型1 模型2 (SI)
区分病人 和健ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人 考虑治愈
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律,
预报高潮时刻, 预防蔓延手段. 模型4: 数值计算与理论分析相结合.
5.2
经济增长模型
O
D
s
1
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
相轨线 i (s ) 及其分析
1 di 1 ds s i s s i0 0
SIR模型
s i(s) ( s0 i0 ) s ln s0 1
1 0.8 0.6 s(t)
i
0.3 0.2
相轨线i(s)
0.4 0.2 0 i(t)
0.1 P0
s
1
0
10
20
30
40
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
i(t)从初值增长到最大; t, i0. s(t)单调减; t, s0.04.
模型4
SIR模型的相轨线分析
/
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [i (t t ) i (t )] Ns(t )i (t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
• 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
5.1 传染病模型
背景 与 问题
传染病的极大危害(艾滋病、SARS、) • 描述传染病的传播过程. • 分析受感染人数的变化规律. • 预报传染病高潮到来的时刻. • 预防传染病蔓延的手段.
1/ s0 i0
0.3
0.3 0.5 0.5 0.3
0.3
0.5 1.0 1.25 0.3
0.98
0.98 0.98 0.98 0.70
0.02
0.02 0.02 0.02 0.02
0.0398
0.1965 0.8122 0.9172 0.0840
0.3449
0.1635 0.0200 0.0200 0.1685
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者.
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i (t ), s (t ), r (t ).
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
基本 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理, 方法 而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
di i dt i (0) i0
i (t ) i0 e
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
模型4
预防传染病蔓延的手段
• 提高移出比例r0
s i
• 降低日接触率 • 提高日治愈率
1
0.6 0.5 0.4 1
以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.
t
t i ?
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i (t ), s (t ) . 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/ ~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0 s0 i0 r0 1 群体免疫
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni(t )t
di si dt
s(t ) i (t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0