积分中值定理在数学分析中的应用(优秀毕业论文)

毕业论文
题目积分中值定理在数学分析中的应用
学生姓名李正邦学号0609014168 所在院(系) 数学系
专业班级数学与应用数学专业2006级5班
指导教师李金龙
完成地点陕西理工学院
2010年 5月 30日
积分中值定理在数学分析中的应用优秀论文
范慕斯
（云南师范大学数学学院数学与应用数学专业20111级2班）
指导老师：成龙
[摘 要] 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：
一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值
ξ的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.
[关键词] 积分;中值;定理;应用
1 引言
积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.
2 预备知识
定理 2.1[1]
(积分第一中值定理) 若()x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得
()()()b a a b f dx x f b
≤≤-=⎰ξξ,a
.
证明 由于()x f 在区间[a,b]上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由
()],[,b a x M x f m ∈≤≤,
使用积分不等式性质得到
()()()a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-⎰,
或
()()M dx x f a b m b a
≤-≤⎰1
.
再由连续函数的介值性,至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得
()().1dx x f a
b f b
a ⎰-=
ξ 定理 2.2[1]
(推广的积分第一中值定理) 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]
b a ,
上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得
()()()().
,b a dx x g f dx x g x f b
a
b
a
≤≤=⎰⎰
ξξ
证明 推广的第一中值积分定理
不妨设在[]b a ,上()0≥x g 则在[]b a ,上有
()()()()，x Mg x g x f x mg ≤≤
其中m ,M 分别为()x f 在[]b a ,上的最小值和最大值,则有
()()()(),dx x g M dx x g x f dx x g m b
a
b a
b a
⎰⎰⎰≤≤
若()0=⎰
dx x g b
a ,则由上式知()()0=⎰dx x g x f b
a
,从而对[]b a ,上任何一点,定理都成立.
若
()0≠⎰dx x g b
a
则由上式得
()()(),M dx
x g dx x g x f m b a
b
a
≤≤⎰⎰
则在[]b a ,上至少存在一点ξ,使得
()()()(),⎰⎰=b a
b
a
dx
x g dx x g x f f ξ 即
()()()().,b a dx x g f dx x g x f b
a
b
a
≤≤=⎰⎰
ξξ
显然,当()1≡x g 时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理
3 积分中值定理的应用
由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.
在使用积分中值定理时要注意以下几点：
(1)
在应用中要注意被积函数在区间[]b a ,上连续这一条件,否则,结论不一定成立.
例如
显然()x f 在0=x 处间断. 由于
()()()()⎰
⎰⎰⎰⎰=+-=+=--40
4
40
4
44
,0cos cos π
ππ
ππ
πxdx dx x dx x f dx x f dx x f
但⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
4,4ππ在上,()0≠x f ,所以,对任何⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-4,4ππ都不能使 ()()ξπ
πf dx x f 244
=⎰-.
(2) 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉. 例如 令
()(),2,2,sin ,sin ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈==ππx x x g x x f
由于
()()()0|cos sin 21
sin 22
222
22
=-==---
⎰⎰π
ππ
ππ
π
x x x xdx dx x g x f ,
但
()⎰⎰--==2
2
2
2
,0sin π
πππxdx dx x g
所以,不存在
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈2,2ππξ, 使
()()()().2
2
2
2
dx x g f dx x g x f ⎰⎰--=π
ππ
πξ
(3) 定理中所指出的ξ并不一定是唯一的,也不一定必须是[]b a ,的内点.
例如
令()[]b a x x f ,,1∈=,则对[],,b a ∈∀ξ都有
()()()a b f dx x f b
a
-=⎰ξ,
这也说明了ξ未必在区间[]b a ,的内点. 下面就就其应用进行讨论.
3.1 求函数在一个区间上的平均值
例1 试()x f sin x =求在[]π,0上的平均值. 解 平均值().2
|cos 1
sin 1
00
π
π
πξππ
=
-
==
⎰
x xdx f
例2 试求心形线()πθθ20,cos 1≤≤+=a r 上各点极经的平均值.
解 平均值()()().|sin 2cos 1212020
a a d a r =+=
+=
⎰
π
π
θθπθθπ
ϕ
注 在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积
分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义. 3.2 估计定积分的值
例3 估计
dx x
x ⎰
+1
03
6
191的值.
解 由推广的积分第一中值定理,得
,11
20111
1361
193
6
1
03
6
19ξ
ξ+=
+=
+⎰
⎰
dx x x x 其中[]1,0∈ξ 因为
,10≤≤ξ
所以
,111
2
1
3
6
3
≤+≤
ξ
即
，
20
1
112012
201363≤+≤
ξ 故
.20
112
2011
03
6
193≤
+≤⎰
dx x x
例 4 估计
dx x ⎰+π
20cos 5.011
的值.
解 因为()x
x f cos 5.011
+=在[]π2,0上连续,且
[]
2)(max 2,0=x f π,[]
3
2)(min 2,0=
x f π, 所以由积分第一中值定理有
πππππ422cos 5.011
2324320=⋅≤+≤⋅=⎰dx x
.
在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在
积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.
例 5 估计
dx x x ⎰
+1
91的值.
解 因为()x
x x f +=
19
在[]1,0上连续,在()1,0内可导,
且()()()
2
38121718x x x x f ++='在()1,0内无解,
即
()[]1,0,0∈≥'x x f ,
等号仅在0=x 时成立.故()x f 在[]1,0内严格单调增, 即
()()()2
1100=
<<=f x f f ,
所以由积分第一中值定理有
2
1101
9<
+<⎰
dx x
x .
在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了.
综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯. 3.3 求含有定积分的极限
例6 求极限n p dx x
x
p
n n n ,,sin lim
⎰+∞→为自然数.
解 利用中值定理,得
因为()x
x
x f sin =在[]p n n +,上连续,由积分中值定理得
[]p n n p dx x x p
n n
+∈⋅=⎰
+,,sin sin ξξ
ξ
当∞→n 时,∞→ξ,而|ξsin |1≤. 故
dx x
x
p
n n
n ⎰
+∞→sin lim =p .sin lim
ξξξ∞→=0. 例7 求xdx n n ⎰
+∞→2
sin lim
π
.
解 若直接用中值定理
xdx n n ⎰
+∞
→20sin lim
π
=
ξπn sin 2
,
因为2
0π
ξ≤
≤而不能严格断定x n
sin 0→,其症结在于没有排除,故采取下列措施
xdx n
n ⎰+∞→2
sin lim
π
=xdx n
⎰-ξ
π
20
sin +xdx n ⎰-22
sin π
ξ
π.
其中ξ为任意小的正数.
对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有
xdx n n ⎰
-+∞→ξ
π
2
sin lim
.
=0sin 2lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ξξπn n ,⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<-≤≤220πξπξ. 而第二个积分
⎰-22
sin π
ξ
π
xdx n
≤dx x n
⎰-22
sin π
ξ
π≤⎰-22
π
ξπdx =ε,
由于ε得任意性知其课任意小. 所以
xdx n
n ⎰+∞→2
sin lim
π
=xdx n
⎰-ξ
π
20
sin +xdx n ⎰-22
sin π
ξ
π=0.
注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值ξ不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量n 的趋近方式. 3.4 确定积分的符号
例8 确定积分dx e x x ⎰
-3
3
3的符号.
解
dx e x x
⎰
-3
3
3
=dx e x x
⎰-03
3+dxx e x x
⎰3
3
=()()t d e t t ----⎰3
3
0+dx e x x ⎰303=dt e t t -⎰033+dx e x x ⎰3
3
=-dt e t t -⎰
3
3+dx e x x ⎰3
3
=
(
)
dx e e x x x --⎰30
3
利用积分中值定理,得
dx e x x ⎰
-3
3
3=()ςςς--e e 33≥0.(其中30≤≤ς)
又x
e x 3
在[]3,3-上不恒等于0,故
03
3
3>⎰
-dx e x x .
注 在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性. 3.5 证明中值ξ的存在性命题
例9 设函数()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且
()()⎰=1
3
203f dx x f ,证明()1,0∈∃ξ,使()0='ξf ,
证明 由积分中值定理得
()()()()ηηf f dx x f f =⎪⎭⎫
⎝⎛-==⎰32133013
2,（其中132≤≤η）
又因为()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导.
故()x f 在[]η，0上满足罗尔定理条件,可存在一点()()100，
，⊂∈ηξ,使()0='ξf . 注 在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理求解,掌握积分中
值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的. 3.6 证明不等式
例10 求证
.20
112
2011
03
6
193<
+<⎰
dx x x
证明
.11
20111
13
36
1
193
61
6
19ξξ+=
+=+⎰
⎰dx x dx x x
其中[]1,0∈ξ,于是由
111
2
1
3
6
3
≤+≤
ξ
即可获证.
例 11 证明
2
1232102<-+<⎰x x dx . 证明 估计连续函数的积分值
()dx x f b
a
⎰的一般的方法是求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值
m ,则
()()()a b M dx x f a b m b a
-<<-⎰.
因为
2
3
2149222
2≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
-+≤x x x []()1,0∈x , 所以
2
1232102<-+<⎰x x dx . 例 12 证明
.10
1
12
1011
9<
+<⎰
dx x
x 证明 估计积分
()()dx x g x f b a
⎰的一般的方法是:求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,又
若()0≥x g ,则
()()()()dx x g M dx x g x f dx x g m b
a
b a
b a
⎰⎰⎰≤≤.
本题中令
()()0,119≥=+=
x x g x
x f ()10≤≤x .
因为
1112
1≤+≤
x
[]()1,0∈x
所以
10
112
12
1011
91
91
9
=
<+<=
⎰⎰
⎰
dx x dx x
x dx x . 例13 证明22
4
1222
e dx e e
x
x
≤≤⎰--.
证明 在区间[]20，
上求函数()x
x e x f -=2
的最大值M 和最小值m .
()()
x
x
e x x
f --='212,令()0='x f ,得驻点2
1
=
x . 比较⎪⎭⎫
⎝⎛21f ,()0f ,()2f 知
41
21-=⎪⎭
⎫
⎝⎛e f 为()x f 在[]20，
上的最小值,而()22e f =为()x f 在[]20，上的最大值.由积分中值定理得
()()020222
04
1
2
-≤≤-⎰--e dx e e
x x ,
即
22
4
1222
e dx e e
x
x
≤≤⎰--.
注 由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如11和12例题时,可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.
3.7 证明函数的单调性
例 14 设函数()x f 在()∞+，0上连续,()()()dt t f t x x F k
⎰-=0
2,试证:在()∞+，
0内,若()x f 为非减函数,则()x F 为非增函数.
证明 ()()()()()dt t tf dt t f x dt t f t x x F k
k k ⎰⎰⎰-=-=00022,
对上式求导,得
()()()()()(),20
x xf dt t f x xf x xf dt t f x F k
k -=-+='⎰⎰
利用积分中值定理,得
()()()()()[]()x x f f x x xf xf x F ≤≤-=-='ξξξ0,,
若()x f 为非减函数,则()()0≤-x f f ξ, 所以()0≤'x F ,故()x F '为非减函数.
综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.
参考文献
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[13] W. Rmdin, Principle of Mathematical Analysis （Second edition ）, Mc Graw-Hill , New York, 1964.96-102.
Mean Value Theorem in Mathematical Analysis
Li Zhengbang
(Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,
Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)
Tutor:Li Jinlong
Abstract: This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few
of the major applications.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral of
symbol;5. Proof of the existence of the value proposition ;6. To prove integral inequality,7. To prove
monotonicity of a function.
Key words:intergral;average-value;theory;applied.。