正交多项式

首项系数
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 ( 2n)! an n . 2 2 ( n! )
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 n n 1 ( 2 n )( 2 n 1 ) ( n 1 ) x a x a0 , n 1 n 2 n!
则
1 2 n
Q ( n ) ( x ) Pn( n ) ( x )
( 2n)! , n 2 n!
第三章 函数逼近与计算 于是
( 2n)! ( 1) n ( 2n)! 1 2 n P ( x ) dx ( x 1 ) dx 1 2 2 n ( n! ) 2 2 2 n ( n! )2 1


0, m n; 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 , m n. 2n 1
证明 令 ( x) ( x 2 1) n ，则 ( k ) (1) 0 (k 0,1,, n 1). 设 Q( x) 是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知 1 1 1 ( n)

1
1
(1 x 2 ) n dx .
由于 0 (1 x ) dx 0 cos 2 n1 tdt
2 n
2
1

2 4 2n 1 3 ( 2n 1)
故

1
1
Pn2 ( x )dx
2 . 2n 1
性质2
奇偶性
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x ).
P ( x ) c j g j ( x ).
j 0 n
(3) n ( x ) 与任一次数小于 n 的多项式 P ( x ) H n1 正交. 即
( n ( x ), P ( x )) ( x ) n ( x ) P ( x )dx 0.
a
b
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3 3
第三章 函数逼近与计算
例1 求区间[-1,1]上,权函数(x)=1的正交多项式. 解 按Schemite正交化过程有
p0(x)=1,
2 2 ( x , 1 ) ( x , x) 2 p2 ( x ) x 1 x (1,1) ( x, x )
xdx ( x ,1) 1 p1 ( x ) x 1 x 1 x (1,1) dx
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1212
第三章 函数逼近与计算 递推公式 (n 1) Pn1 ( x ) (2n 1) xPn ( x ) nPn1 ( x ) 由P ,P 0 ( x) 1 1 ( x) x, 可推出
n n n n d d 1 dn 2 n n nk k n ( x ) ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 ) Pn ( x ) n ( x 1 ) dxn dxn k 0 k 2 n ! dxn
性质3 递推关系 (n 1) Pn1 ( x ) (2n 1) xPn ( x ) nPn1 ( x ) 考虑 n 1 次多项式 xPn ( x ), 可表示为
1 1 1
x 3 dx x 2 dx
x x2
1 3
x
3

1
1 1
x dx dx
3

1

1
1 1
1
x x dx
x dx
2 4
1
1 1
1
3 (x ) x x 2 5 ( x2 1 ) dx 3
2 1 2 3
3 x5 1 x dx 3
3

5 5
第三章 函数逼近与计算 (4) 设 { g n ( x )} 是 [a, b]上带权 ( x )的首项系数为1的 0 正交多项式，对 n 0 成立关系
g n 1 ( x ) ( x n ) g n ( x ) n g n 1 ( x )
其中 g0 ( x ) 1,
P2 ( x ) ( 3 x 2 1) / 2,
P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2,
( n 1,2, ),
P4 ( x ) (35 x 4 30 x 2 3) / 8,
P5 ( x ) (63 x 5 70 x 3 15 x ) / 8,

1
Pn ( x )Q( x )dx

( 1) n 1 1 ( n 1 ) n Q( x ) ( x )dx n 1 2 n! 2 n!
2n n! 1
Q( x )
( x )dx

1
1
Q ( n ) ( x ) ( x )dx
则 Q ( n ) ( x) 0, （1） 若 Q( x) 是次数小于 n 的多项式，
1
1
当 k n 2时，xPk ( x ) 次数小于等于 n 1 ， 上式左端积分 为0， 故得 ak 0. 2 当 k n 时， xP 为奇函数，左端积分仍为0， 故 an 0. n ( x) ( 2n 2)! 于是 xP ( x ) a P ( x2 ) a P n(x n 1 1) 其中
g0 ( x ) 1,
gn ( x ) x n
j 0 n 1
( x n , g j ( x )) ( g j ( x ), g j ( x ))
g j ( x ) ( n 1,2, ).
g1 ( x ) x
2
( x , g0 ( x )) g0 ( x ) ( g0 ( x ), g0 ( x ))
b
称 g n ( x )为[a , b] 上带权 ( x )的 n次正交多项式.
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2 2
第三章 函数逼近与计算
在C[a,b]中构造正交多项式
给定区间 [a , b]及权函数 ( x ) ，可由一组线性无关的 幂函数 {1, x,, x n ,}, 利用Schemite正交化过程构造 出正交多项式序列 { g n ( x )} ： 0
第三章 函数逼近与计算
3.4.2 勒让德多项式
表达式 [1, 1] ( x ) 1 {1, x ,, x n ,} 正交化
1 dn 2 n {( x 1 ) } ( n 1,2, ), P0 ( x ) 1, Pn ( x ) n n 2 n! dx
P1 ( x ) x
xPn 1 ( x )
n
2
1 n 1 n(n 1)!
( 2n)! 2 2 n n!
Pn ( x ) c j Pj ( x )
j 0
n1
n 1
2n 1 1 2n 3 1 a n 1 xPn ( x ) Pn1 ( x )dx an1 xPn ( x ) Pn1 ( x )dx 1 1 2 2 2n 3 2( n 1) n1 2n 1 n 2 n , , 2 ( 2n 1)( 2n 3) 2n 1 2 2 n 1 2 n 1 2n 1
xPn ( x ) a0 P0 ( x ) a1 P1 ( x ) an1 Pn1 ( x ).
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1111
第三章 函数逼近与计算 两边乘 Pk ( x), 并从-1到1积分，

1
1
xPn ( x ) Pk ( x )dx ak Pk2 ( x )dx .
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4 4
第三章 函数逼近与计算
按Schemite正交化方法构造正交多项式的性质
(1) 最高次项系数为1. (2) 任何 P ( x ) H n均可表示为 g0 ( x ), g1 ( x ), , gn ( x ) 的线性组合. 即
( x 2 , g0 ( x )) ( x 2 , g1 ( x )) g2 ( x ) x g0 ( x ) g1 ( x ) ( g0 ( x ), g0 ( x )) ( g1 ( x ), g1 ( x ))
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1

1
x2
3

1
1 1
x dx dx
2
3 2 1 ( x , x ( x , 1 ) ( x , x ) 3 3) p3 ( x ) x 1 x 2 1 2 1 ( x2 1 3) (1,1) ( x, x ) (x 3 , x 3) 3


1

1
第四节 正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1
正交化手续
是 [a , b] 上首项系数 an 0 的 n 次多项式， 定义1 设 g n ( x )
( x )为 [ a, b]上权函数， 如果多项式序列 { g n ( x )}0 满足
0, j k . ( g j , gk ) ( x ) g j ( x ) gk ( x )dx a Ak 0, j k . 则称多项式序列 { g n ( x )}0为在 [a , b] 上带权 ( x ) 正交
这里 ( xgn ( x ), gn ( x )) (5)

b
a
2 xgn ( x ) ( x )dx .
[ a, b] 设 { n ( x )} 上带权 ( x )的正交多项式， 0 是 则 n ( x )( n 1)在区间 (a, b) 内有 n 个不同的零点.
6 6
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P6 ( x ) ( 231 x 6 315 x 4 105 x 2 5) / 16,
图3- 1
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1313
第三章 函数逼近与计算
性质4 在所有最高项系数为1的n次多项式中，Legendre多项式 ~ Pn ( x)在[1,1]上与零的平方误差最小 。
故得

1
1
Pn ( x ) Pm ( x )dx 0, 当n m.
( 2n)! 1 n ( n) x , 若 Q( x ) Pn ( x ) n ( x ) n 2 2 ( n ! ) 2 n!
1010
（2）
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( n 0,1, ).
g1 ( x ) 0,
( xgn ( x ), gn ( x )) n , ( n 0,1,2,). ( gn ( x ), gn ( x ))
( gn ( x ), gn ( x )) n , ( n 1,2, ). ( gn1 ( x ), gn1 ( x ))
设Qn ( x)是任意一个最高项系数 为 1的n次多项式，它可表示为
n! d n 2 n [( x 1 ) ]. n ( 2n)! dx
9 9
最高项系数为1的勒让德多项式为
~ Pn ( x )
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第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质 性质1 正交性
1
k k dk dk n n ( x ) ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1)n i ( x 1)n( k i ) k k dx dx i 0 i