高三一轮复习等比数列及其前n项和

等比数列及其前n 项和

1.理解等比数列的概念．

2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列有关知识解决相应的问题．

4.了解等比数列与指数函数的关系．

突破点一 等比数列的基本运算

[基本知识]

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做 等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1

a n

＝q .

(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1.

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q

＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )

(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n

，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )

1－a

.( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

二、填空题

1．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13

a 10

＝________. 答案： 2

2．各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 6＝a 1a 2a 3，则公比q 的值为________． 答案：2

3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案：4

4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于________． 答案：⎝⎛⎭⎫32n －1

[典例感悟]

1．已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项和S 5＝( ) A.33

12 B ．31

C.314

D ．以上都不正确

解析：选B 设{a n }的公比为q ，则q >0且q ≠1.由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2，q 2＋3q －10＝0，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)，又a 2＝2，则a 1＝1，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝1×(1－25)

1－2＝31.

2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －

1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝

2. 故a n ＝(－2)n

－1

或a n ＝2n －

1.

(2)若a n ＝(－2)

n －1

，则S n ＝1－(－2)n

3

.

由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2

n －1

，则S n ＝1－2n 1－2

＝2n

－1.

由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.

[方法技巧]

解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法

(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．

(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q

.

[针对训练]

1．数列{a n }满足a 4＝27，a n ＋1＝－3a n (n ∈N *)，则a 1＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3

解析：选C 由题意知数列{a n }是以－3为公比的等比数列，

∴a 4＝a 1(－3)3＝27，∴a 1＝27

(－3)3＝－1.故选C.

2．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B ．

314

C.334

D ．172

解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，则显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q

＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧

a 1

＝9，q ＝－1

3(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)

1－q

＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－

12

＝31

4.

3设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127. (1)求a 5的值；

(2)求数列{a n }的前n 项和．

解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128，则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024，可得a 5＋1＝32， 即a 5＝31.

(2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋1＝2，

q ＝2，

所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝2×2n －

1＝2n ，所以a n ＝2n －1，

利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2

－n ＝2n ＋

1－2－n .

突破点二 等比数列的性质

[基本知识]

(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．

(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也

是等比数列．

(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k . (5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n

，T 3n T 2n ，…成等比数列．