ARCH自回归条件异方差模型解析

检验的原假设和备择假设为：
H0 : 1 2 q 0
H1 : i 0, (1 i q)
检验统计量
LM nR2 ~ 2 (q)
其中，n是计算辅助回归（4）时的样本 数据个数， R 2 是辅助回归（4）的可决系 数（采用最小二乘估计）。

给定显著性水平 和自由度 q，如果 2 LM (q) ，则拒绝 H 0 ，认为序列存在ARCH 2 LM 效应；如果 (q)，则不能拒绝 H 0 ，说 明序列不存在ARCH效应。 在Eviews 上的操作：首先用LS估计模型，然 后对残差序列进行ARCH检验。在方程结果的 输出窗口选择View/ResidualTests/ARCH LM 2 Test,屏幕提示用户指定 检验阶数即q值。输 出结果第一行F统计量不是精确分布，仅供参 考。第二行是LM统计量的值以及检验的相伴 概率。
2 q t q
如果随机扰动项的平方服从AR（q）过程，即
0
2 t 2 1 t 1
t （2）
其中 t 独立同分布，并满足
E(t ) 0，D（t） 2 , IID(0, 2 ) 则称模型（2）为自回归条件异方差模型，简记为 ARCH模型。称序列 t 服从q阶的ARCH过程，记作 t ~ ARCH(q) 。（1）和（2）构成的模型称为回 归—ARCH模型。 ARCH模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行 建模，以更充分地提取残差中的信息，使最终的模型 残差项 t 成为白噪声。所以，对于AR（p），模型
yt 1 yt 1 p yt p t
如果 t ~ ARCH(q) ，则序列 yt 可以用 AR( p) ARCH(q) 模型描述。其他情况类推。

为方便研究并与其他拓展形式相联系， ARCH（q）模型又可表示为：
ht var( t | Ft 1 )
三、ARCH模型的参数估计

ARCH模型的参数估计一般采用极大似然方法 估计。 设样本量是n，回归—ARCH（q）模型参数估 计的对数似然函数为：
n t 1 1 n 1 n 2 ln L( , | y, x) n ln(2 ) ln(ht ) ( t / ht ) ln 2 2 t 1 2 t 1 yt t 1
自回归条件异方差模型
资产收益率的波动性是金融经济学家们长期关注的 一个焦点问题。资产选择理论试图通过用方差或协方 差关系描述收益率的波动性来寻找最优资产组合， CAPM模型和其他资产定价理论说明投资者怎样从承 担与自己的资产组合存在某种协方差联系的系统性风 险中获得补偿。然而，传统的金融计量学模型对风险 或收益波动性特征的理解却是简单而粗糙的，一般把 方差视为是随时间的变化而独立、同分布的常量。20 世纪60年代以来，大量关于金融市场价格行为的经验 研究结果证实：方差是随时间的变化而变化的。 Mandelbrot(1963)首先发现了金融资产收益率的波动存 在时间序列上的“簇聚(clustering)现象”，即幅度较 大的波动会相对集中在某些时段，而幅度较小的波动 会集中在另一些时段。这种金融变量随市场波动的特 点是金融市场中常见的、规律性的现象。
q
i 1 (保证ARCH过程平稳）。 且： i 1 t 的条件方差是滞后误 在ARCH模型中， 差项的增函数。因此，较大（小）的误 差项一般后面紧跟着较大（小）的误差， 回归阶数q决定了冲击的影响存留于后续 误差项方差中的时间长度，q越大，波动 持续的时间也就越长。
二、 ARCH效应检验

序列是否存在ARCH效应，最常用的检验方法 是拉格朗日乘数法，即LM检验。若模型随机 扰动项 t ~ ARCH(q) ，则可以建立辅助回归方 程： 2 2
ht 0 1 t 1 q t q ( 4)
检验序列是否存在ARCH效应，即检验上式中 所有回归系数是否同时为0。若所有回归系数 同时为0的概率较大，则序列不存在ARCH效 应；若若所有回归系数同时为0的概率很小， 或至少有一个系数显著不为0，则序列存在 ARCH效应。
使函数达到最大值的参数 和 值，就是参数 的极大似然估计。
这里 Ft 1为到t-1时刻过去信息的集合。 利用过去的方差 t2i , i 1,2q 对条件方 差 ht 作自回归模型：
ht 0
q i 1
2 1 t 1

2 q t q
0 i t2i
(3)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ其中
0 0,i 0, (i 1,2, q)

罗伯特· 恩格尔于1942年出生于美国纽约州的中部城市 锡拉丘兹，目前是纽约大学财经系的教授。瑞典皇家 科学院表示，他之所以得奖是因为他发明了一种计量 方法，能够预测并分析随时间变化的股票价格、外汇 汇率以及利率的波动。由于传统的计量经济学模式无 法解释金融市场价格的波动规律，恩格尔在1982年提 出一种 “ 自回归条件异方差模型 ” （简记 ARCH 模型）。 这个模型被认为是一项重大突破，经过近二十年的发 展，已经被广泛应用于经济与金融领域的时间序列分 析。恩格尔的发明使得市场分析师以及投资人能够预 测股票波动并评估风险。瑞典皇家科学院称，他“不仅 是研究人员学习的光辉典范，而且也是金融分析家的 楷模，他的 ARCH模型不仅为研究者，而且为市场分 析师们在资产定价和投资组合风险评估方面提供了不 可或缺的工具。”
第一节 自回归条件异方差模型
在各种条件异方差模型中,Engle于1982年提出的自 回归条件异方差（ARCH:Auto-regressive Conditional Heteroskedastic）模型是最基础的。 一、ARCH模型 ' 对于通常的回归模型 t t t
y x （ 1 ）