高考数学 第3讲 常用逻辑用语知识点+典型例题+变式训练+基础训练+高考真题(精心整理,很实用)

第3讲 常用逻辑用语

【基础知识】

1.四种命题及其关系：

互逆否命题的真假性相同，解题时常常用到正难则反

2.充分条件与必要条件

一般地，如果p q ⇒，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件．

从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A .B 互为充要条件.

3.简单的逻辑联结词

（1）P 或q ：p q ∨ （2）p 且q : p q ∧ (3) 非p : p ⌝

4.全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”.“任意一个”等，用∀表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词--------“存在一个”.“至少有一个”等，用∃表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀

【基本题型】

一、充分必要条件问题

例1．(2011·福建高考)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

【解析】 若a ＝2，则(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0，有a ＝1或a ＝2，即(a －1)(a －2)＝0

a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．【答案】 A

变式训练1..若．“6π

α=”是“21

2cos =α”的 （ A ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、逻辑联结词，命题真假的判定

例2.下列命题中，真命题是（ ）．

Ａ．m ∃∈R ，使函数()()2f x x mx x =+∈R 是偶函数

Ｂ．m ∃∈R ，使函数()()2f x x mx x =+∈R 是奇函数

Ｃ．m ∀∈R ，使函数()()2f x x mx x =+∈R 都是偶函数

Ｄ．m ∀∈R ，使函数都()()2f x x mx x =+∈R 都是奇函数

【解】当0m =时，函数()()2f x x x =∈R 是偶函数，故选Ａ．此外，m ∀∈R ，函数都

()()2f x x mx x =+∈R 都不是奇函数，因此排除Ｂ，Ｄ．

，则函数()()2f x x x x =+∈R 既不是奇函数也不是偶函数．因此排除Ｃ

变式训练2.命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式是（B ）

A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根

B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

三、互为逆否命题的真假性相同

例3.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，

命题q ：实数x 满足⎩

⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；

(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

【尝试解答】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .

当a ＝1时，1＜x ＜3，又⎩

⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.得2＜x ≤3. 由p ∧q 为真．∴x 满足⎩

⎪⎨⎪⎧2＜x ≤3，1＜x ＜3.即2＜x ＜3.所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3. (2)由¬p 是¬q 的充分不必要条件，知

q 是p 的充分不必要条件，由A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，B ＝{x |2＜x ≤3}，

∴B A .因此a ≤2且3＜3a .所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.

评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

变式训练3.已知p: 23

11≤--

x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

解：由p ：23

11≤--x .102≤≤-⇒x ()().9,21101.,,11:,

210:.11,0122≥⎩

⎨⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-〉≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m m m x q 所以故只需满足所以的必要不充分条件是因为或或所以所以可得由

【基础训练】

1. 命题“若b a >，则11->-b a ”的否命题．．．

是（ C ） A . 若b a >，则11-≤-b a B . 若b a ≥，则11-<-b a

C . 若b a ≤，则11-≤-b a

D . 若b a <，则11-<-b a

2．（2012·重庆高考文科）命题“若p 则q ”的逆命题是( A )

(A)若q 则p (B) 若p ⌝则q ⌝ (C) 若q ⌝ 则p ⌝ (D) 若p 则q ⌝

3.（2012·湖南高考文科）命题“若α=

4π，则ta nα=1”的逆否命题是( C ) (A )若α≠4π，则ta nα≠1 (B )若α=4

π，则ta nα≠1 (C )若ta nα≠1，则α≠4π (D )若ta nα≠1，则α=4

π 4.（2011·福建卷文科）若a ∈R ，则“a =1”是“|a |=1”的( A )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

5.（2013·重庆高考文科）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( A )

A ．存在0x R ∈，使得200x <

B .对任意x R ∈，都有20x <

C .存在0x R ∈，使得200x ≥

D .不存在x R ∈，使得20x <

6.命题“若)(x f 是奇函数，则)(x f -是奇函数”的否命题是（ B ）

A . 若)(x f 是偶函数，则)(x f -是偶函数

B . 若)(x f 不是奇函数，则)(x f -不是奇函数

C . 若)(x f -是奇函数，则)(x f 是奇函数

D . 若)(x f -不是奇函数，则)(x f 不是奇函数

7.（2013·安徽高考文科）“(21)0x x -=”是“0x =”的 ( B )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

8.（2013·湖南高考文科） “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（A ）

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

9.（2012·湖北高考文科）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ B ）

(A )任意一个有理数，它的平方是有理数 (B )任意一个无理数，它的平方不是有理数