排列与组合综合应用1
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探究提高
本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考 虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间 接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．
变式训练 1 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方 法总数： (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 3 人．
排列与组合
排列问题
例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各 有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．
这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元 素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常 用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素 后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法” 或“排除法”(特殊元素先考虑)．
解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有 6 种，其余有 A88种， 故共有 6·A88＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66种排法， 故共有 A83·A66＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A99种，甲排在每一个位置的机会都是 均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 A99×69＝ 241 920(种)．
变式训练 2
甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门， (1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？ 解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲乙所选课 程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C24C21C12＝24(种)． (2)甲、乙两人从 4 门课程中选两门不同的选法种数为 C42C24， 又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种，因 此满足条件的不同选法种数为 C42C24－C24＝30.
排列与组合的综合应用
例 3 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？
(5)插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有 A44A35＝ 1 440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排 列总数为 N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人 的全排列，因此 A77＝N×A33，∴N＝AA3377＝840(种)． (7)与无任何限制的排列相同，有 A77＝5 040(种)．
探究提高
组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则 先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这 些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题 必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防 重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分 类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
(8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A53种，甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、乙相邻的排法有 A22A33 种，最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可，共有 A53×A22×A33＝720(种)．
组合问题
例 2 某课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人， 并且男、女生各指定一名队长．现从中选 5 人主持某种活 动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
解组合问题时，常从特殊元素入手．
解 (1)一名女生，四名男生．
故共有 C51·C48＝350(种)． (2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22·C311＝ 165(种)． (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故
共
有
：
C
21·C
4 11
＋
C
22·C
3 11
＝825(种
方法四 (间接法) A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余 7 人， 共有 A22·A77＝10 080(种)排法． (3)(插空法) 先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方法， 故共有 A44·A55＝2 880(种)排法．
)或
பைடு நூலகம்
采
用
排
除
法
：C153
－
C
511 ＝
825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、
没有女生．故选法为：
C52·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：C412； 第二类女队长不当选： C41·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44. 故选法共有： C142＋C41·C37＋C24·C72＋C43·C17＋C44＝790(种)．
解 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素， 故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A31种， 其余 6 人全排列，有 A66种． 由分步计数原理得 A31A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外， 有 A16种，余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边 的排法数 A15A55种． 则符合条件的排法共有 A61A66－A15A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素 进行全排列，共有 A33A55＝720(种)． (4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共 A33A44＝144(种)．
本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考 虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间 接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．
变式训练 1 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方 法总数： (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 3 人．
排列与组合
排列问题
例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各 有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．
这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元 素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常 用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素 后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法” 或“排除法”(特殊元素先考虑)．
解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有 6 种，其余有 A88种， 故共有 6·A88＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66种排法， 故共有 A83·A66＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A99种，甲排在每一个位置的机会都是 均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 A99×69＝ 241 920(种)．
变式训练 2
甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门， (1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？ 解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲乙所选课 程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C24C21C12＝24(种)． (2)甲、乙两人从 4 门课程中选两门不同的选法种数为 C42C24， 又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种，因 此满足条件的不同选法种数为 C42C24－C24＝30.
排列与组合的综合应用
例 3 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？
(5)插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有 A44A35＝ 1 440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排 列总数为 N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人 的全排列，因此 A77＝N×A33，∴N＝AA3377＝840(种)． (7)与无任何限制的排列相同，有 A77＝5 040(种)．
探究提高
组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则 先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这 些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题 必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防 重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分 类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
(8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A53种，甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、乙相邻的排法有 A22A33 种，最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可，共有 A53×A22×A33＝720(种)．
组合问题
例 2 某课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人， 并且男、女生各指定一名队长．现从中选 5 人主持某种活 动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
解组合问题时，常从特殊元素入手．
解 (1)一名女生，四名男生．
故共有 C51·C48＝350(种)． (2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22·C311＝ 165(种)． (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故
共
有
：
C
21·C
4 11
＋
C
22·C
3 11
＝825(种
方法四 (间接法) A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余 7 人， 共有 A22·A77＝10 080(种)排法． (3)(插空法) 先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方法， 故共有 A44·A55＝2 880(种)排法．
)或
பைடு நூலகம்
采
用
排
除
法
：C153
－
C
511 ＝
825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、
没有女生．故选法为：
C52·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：C412； 第二类女队长不当选： C41·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44. 故选法共有： C142＋C41·C37＋C24·C72＋C43·C17＋C44＝790(种)．
解 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素， 故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A31种， 其余 6 人全排列，有 A66种． 由分步计数原理得 A31A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外， 有 A16种，余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边 的排法数 A15A55种． 则符合条件的排法共有 A61A66－A15A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素 进行全排列，共有 A33A55＝720(种)． (4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共 A33A44＝144(种)．