自动控制原理课件第三章

tp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。
(2) 最大偏差A和超调量ζ
偏差e=设定值R-输出y
定值控制系统： 被控输出第一个波的峰值与给定 值的差，如图中的A，A=y(tp)。 随动控制系统:
超调量
通常采用超调量这个指标：
y( ) 100%
(3-4-1)
y( t p ) y( )
y(∞)为过渡过程的稳态值。
一、典型输入信号
1.阶跃输入信号
R
t
阶跃输入信号可表示为：
R x( t ) 0
t0 t0
R为阶跃信号的幅值，是一常数。R=1时叫做单位阶 跃信号，记做1(t)，否则记为R· 1(t)。 表示在t=0时刻出现了幅值为R的跳变，是最不利的 外作用。常用阶跃函数作为评价系统动态性能的典型 外作用。所以阶跃函数在自动控制系统的分析中起着 特别重要的作用。
频率ω作等幅振荡。 ω=2πf 为正弦函数的角频率，这里，
正弦函数也是控制系统常见的一种典
型外作用，很多实际的随动系统就是经
常在这种正弦函数作用下工作的，更为
重要的是系统在正弦函数作用下的响应， 即频率特性，是自动控制理论中研究系
统性能的重要依据。
究竟使用哪种典型 信号分析系统？
取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式 若输入是突然的脉动 － 脉冲信号
(3-2-3)
一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线 由式（3-2-3）求出 ：
y( t ) 1 e t / T
y(t)
(3-2-3)
y(0) y(t ) t 0 0
y( ) y( t ) t 1
t＝T时，y(T)＝1-e-1＝0.632 t＝2T时, y(2T)＝0.865
T称为时间常数，表示系统的惯性大小 K表示对象的增益或放大系数 传递函数是：
Y ( s) K G( s) X ( s ) Ts 1
(3-2-1)
2.1单位阶跃响应
Y ( s) K G( s) （假设K＝1，系统的初始条件为零。） X ( s ) Ts 1
单位阶跃1(t)的拉氏变换为：
第三章 控制系统的时域分析方法
本章主要介绍：
1、一阶、二阶和高阶系统在典型输入信号下的过 渡过程
2、系统过渡过程的质量指标的分析（静态和动态 的误差分析）
3、系统稳定性的判据 4、常规调节器的性能
时域分析引言
系统分析是指一个实际系统的数学模型建立后，对
系统稳定性、稳态误差和瞬态响应等三个方面的性能进 行分析，也就是以数学模型为基础分析系统在指定的性 能指标方面是否满足要求。 数学模型的建立为分析系统的行为和特性提供了条 件。
0.15 0.1 0.05
A
tp
B
B
y( )
0
ts t
(4)调节时间ts
阶跃响应到达稳态的时间。
工程上常取在被控变量进入新稳态值的±5％或 ±2％的误差范围，并不再超出的时间。 ts 的大小一般与控制系统中的最大时间常数有 关，ts越短，系统响应越快。
0.15
0.1 0.05 0
A
tp
B
B
y( )
着时间的推移，是单调下降的。
y(t)
总结：
1 0.63 2
斜率 =1/T B
一阶系统单位阶跃响应的重要性质：
分析的目的在于揭示系统在外部输入信号作用下
各个变量的运动规律和系统的基本特性，以及改善系
统特性使之满足工程要求的基本途径。
分析系统的方法可分为三类：时域法、根
轨迹法和频域法。
时域分析法是一种直接在时间域中对系统
进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可 以提供系统时间响应的全部信息。
缺点：难以判断系统结构和参数对动态性
t
R为常数，此信号幅度随时间以加速度R增长。
5.正弦输入信号
正弦输入信号可表示为如：
X(t)
R sin t t 0 x(t ) t0 0
t
R
﹣R
R为常数，表示正弦输入信号的幅值。该信号随时间以 初始相角φ=0，如果初始相角φ不等于0，那么正弦函数 x(t)的表达式为：x(t)=Asin(ωt-φ)。
2.单位脉冲输入信号 又称δ(t)函数，它是在ε→0时 求极限情况得到的。数学表达 式为：
X(t)
1

ε
t
(t ) 0 ( t ) dt 1 (t ) 0
t0 0 t t
但脉冲函数在现实中是不存在的，只是数学上的定义， 在现实系统中常把作用时间很短，幅值很大而强度有 限的一些外作用近似看作脉冲函数。当A=1时，称为单 位脉冲函数，记作δ(t)，强度为A的脉冲函数r(t)表示成 r(t)=Aδ(t)。
3.斜坡输入信号（也叫速度函数） 斜坡输入信号可表示为：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Rt x( t ) 0
Rt
φ
t0 t0
tgφ=R
t
R为常数，此信号幅值随时间t作等速增长变化， 其速率为R。
4.抛物线（加速度）输入信号
抛物线输入信号可表示为：
Rt 2 x( t ) 0
R t2
t0 t0
e( ) x ( ) y( ) 0
2、工程上，以响应曲线达到稳态值误差的2%（或5 ％）所需的时间，记为过渡时间（调节时间）, 记作 ts。
3、对一阶系统来说，是四倍（三倍）的时间常数， 即 ts=4T（ts=3T）。
4、时间常数T反应一个系统的惯性，时间常数越小， 系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被 称为一阶惯性系统。
1.2
c t p c % 100 % c
System: sys1 Settling Time (sec): 4.2 System: sys1 Final Value: 1
1
System: sys1 Rise Time (sec): 0.734 0.8
Amplitude
研究输出曲线的变化速率:
y( t ) 1 e t / T
y(t)
(3-2-3)
对（3-2-3）式求导：
dy( t ) 1 — dt T e
t 0,
t T,
t T
斜率 =1/T
B A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
T 2T 3T 4T 5T
1 0.632
熟练掌握用终值定理求稳态误差的方法 明确影响稳态误差的因素
重 点 和 难 点
重点：典型系统性能指标，稳定性分析，稳态误差
求取 难点：系统参数对系统性能的影响，基于输入输出模 型的时间响应关系
3.1 系统时间响应的性能指标
控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳 态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必 须了解输入信号的解析表达式。然而，在一般情 况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无 法预先确定，因此需要选择若干典型输入信号。
2.稳态过程（静态过程）：
过渡过程中，当时间趋于无穷大时系统 的输出状态，反映出系统的稳态性能。
1.5 1 0.5
0
-0.5 0 5 10 15
注意：
稳态过程不是指输出数值不变，而是 指输出变化形式固定不变。
三、动态性能和稳态性能
1.动态性能
(1)峰值时间tp
0.15
0.1 0.05
0
A
tp
t
阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。
for T=[5,10,30]
G=tf([1],[T 1]);
step(G,160); hold on; end
grid on
axis([0 160 0 1.1]);
结论： 时间常数T决定系统的惯性： T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；
T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。
说明：
1、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差是零，
y( t ) 1 / T
0
t
t , y ( t ) 0
1 1 1 y( t ) e 0.368 T T
y(t)
1 0.63 2
0
斜率 =1/T B
A86.5％ 98.2％ 95％ 63.2 99.3％ ％
T 2T 3T 4T 5T
1 t T , y( t ) 0.368 T
t＝3T时, y(3T)＝0.95 t＝4T时, y(4T)＝0.982 t＝5T时, y(5T)＝0.993…
1
0.632 B A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
T 2T 3T 4T 5T
0
t
y( t ) y( ) 误差 ＝ 100% y( )
2%
5%
t 0, y( t ) 1 / T
t , y( t ) 0
(3-2-5)
t
说明： 1. 一阶系统阶跃响应曲线的另一个重要特性是在 t ＝0处切线的斜率等于1/T。 2. 一阶系统如能保持初始反应速度不变， 则当t＝
T时，输出将达到其稳态值。
3. 实际上，一阶系统过渡过程y(t)的变化速率，随
若输入是突变的跃变 － 阶跃信号
若输入随时间逐渐变化 － 斜坡信号
若输入是周期信号 － 正弦信号
……
二、动态过程和稳态过程
时域分析法研究系统输入变化时，其输出 随时间变化的响应特性。y(t)=f(x(t))
系统的时间响应分为动态响应和稳态响应 或称动态过程与稳态过程。 1.动态过程（过渡过程或瞬态过程）： 系统在输入信号作用下，系统输出从初始 状态到最终状态的响应过程，反映系统的动 态性能。
一阶系统：可用一阶微分方程描述的系统。 例：网络的输入电压Ul和输出电压U2间的动态特 性由下列一阶微分方程来描述：
R U1(t) i(t) C
U2(t)
dU 2 ( t ) 设 T RC RC T dt U 2 (t ) U1 (t )
描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：
dy( t ) T y( t ) Kx( t ) dt
能的影响，很难用于系统的设计；对于高阶系 统，系统分析的工作量将急剧增加，不易确定 其性能指标，必须借助计算机实现。
学 习 目 标
熟悉系统阶跃响应性能指标
明确典型系统阶跃响应的特点及其动态性能与系统 参数、零极点分布的关系
明确稳定性概念及系统稳定的充要条件，熟练掌握 劳斯判据及其应用 明确误差和稳态误差的定义，明确利用终值定理计 算稳态误差的限制条件
(3-2-1)
1 X ( s) s
把(3-2-2)式代入(3-2-1)式，
(3-2-2)
1 1 1 1 Y ( s ) G( s ) X ( s ) . 1 s s Ts 1 s T 取拉氏反变换有：
y( t ) L1[Y ( s )] 1 e t / T
h(t)
A 超调量ζ% = A 100% B
峰值时间tp
B
上 升 时间tr
调节时间ts
t
c t
1.4
动态性能指标定义1
Step Response System: sys1 Peak amplitude: 1.25 Overshoot (%): 25.4 At time (sec): 1.73
0.15 0.1 0.05 0
1.5 1
B
A
tp
0. 5
y( )
tp t
t
0
(3)衰减比n 在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。 如图，n=B：B’。 n愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过 渡过程的衰减程度也愈小。 当n＝1时，过渡过程则为等幅振荡； 一般操作经验希望过程有两、三个周波结束， 一般常取n=4:1~10:1。
1.5
1 B
B
0. 5
0
y( )
tr tp
ts t
总结：
1.5 1 0. 5
B
B
y( )
tr tp
ts t
0
1、峰值时间和上升时间反映了系统的初 始快速。
2、调节时间反映了系统的整体快速性。 3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系 统的平稳性。 4、稳态误差反映了系统的调节精度。
动态性能指标定义1
0.6
tr
tp
t s 表征快速性
%
0.4
动态性能 表征平稳性
稳态误差
0.2
e ss
表征稳态精度
0
0
tr
1
2 3 4 5 常用 % 、 t 、 e 表征系统 Time (sec) t tp s ss s
6
7
t
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
3-2 一阶系统的时域分析
ts t
(5)上升时间tr 仅适用随动系统。第一次达到系统新稳态值所需 的时间，定义为上升时间。 对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10％上升 到90％所需的时间。
1.5 1
B
B
0. 5 0
y( )
tr tp
ts t
2.稳态性能
余差或稳态误差e(∞)
过渡过程结束时稳态值与给定值之差，是表示控 制系统精度的重要质量指标。