塑性变形力学计算

杆件的塑性变形

15.1 概 述

工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。

15.2 金属材料的塑性性质

图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有

p

e εεε+= （15.1）

弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。

图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线

图15.2 弹塑性应力-应变

有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。

n εσc =

15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析

现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P 逐渐增加时，杆件两端的反力是

b a Pa

R b a Pb

R +=

'

+=

21

(a)

P 力作用点的位移是

()b a EA Pab

EA a R +=

=1δ

(b)

如a b >则21R R >。随着P 的增加，

AC 段

图

图图

图

图

图

的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷

为1P ，载荷作用点的位移为1δ，由（a ）、（b ） 两式求得

()

b b a A P A b

a b P R +=

=+=

s 1,

S 111σσ E a

s 1σδ=

由平衡方程可知

S 2σA P R -= (c)

载荷作用点c 的位移为

()EA

b

P P 11-+

=δδ (d)

CB 段也进入塑性阶段时，S 2σA R =，由（c ）式求出相应的载荷为

S 22σA P =

载荷达到2P 后，整个杆件都已进入塑性变形。

例18.1 在图15.9a 所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A 。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P 、极限载荷

p

P 。

解：以1N 和2N 分别表AC 和AD 杆的轴力，3N 表AB 杆的轴力。令s 1E E =，

s 1A A =，得

图

αα

α

3332212cos 1,

cos 21cos +=

+==P

N P N N (e)

当载荷逐渐增加时，AB 杆的应力首先达到s σ，这时的载荷即为1P 。由（e ）式的第二式得

ασ31

S 3cos 21+=

=P A N

由此解出

()

ασ3

S 1cos 21+=A P

载荷继续增加，中间杆的轴力s N 保持为S σA ,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力1N 也达到S σA ，相应的载荷即为极限载荷P P 。这时由节点A 的平衡方程知

()1cos 2cos 2S S S P +=+=ασσασA A A P

加载过程中，载荷P 与A 点位移的关系已表示于图15.9b 中。

15.4 圆轴的塑性扭转

圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即

P I T ρ

τ= (a)

随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限s

τ（图15.10a ）。若相应的扭矩为1T ，由（a ）式知

S 3P

S 121

τπτr r I T ==

(b)

极限扭矩P T ，其值为

⎰=A

s p A

d T τρ

取ρπρd dA 2=代入上式后完成积分，得

s

3P 32

τπr T = (15.4)

达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。

例18.2 设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11a 所示，并可近似地表为

γτB =m

式中m 和B 皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。

图

解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3.4中的（b ）式，求得横截面上任意点处的剪应变为

dx d φ

ρ

γρ= (d)

式中dx d φ

是扭转角沿轴线的变化率，ρ为横截面上一点到圆心的距离，ργ即为该

点剪应变。（d ）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.11b ）。由（c ）、（d ）两式求出

ρ

φ

τ⋅=dx d B

m ρ (e)

或者写成

m

1

⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=ρφτρdx d B (f) 横截面上的扭矩应为

⎰⋅=A

ρdA

T τρ

取ρρπd A d 2=,并以(f)式代入上式，

m

13m m

1

m 12m m

1

+++⋅⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎰

r m m dx d B d dx d B T 1

322r o

φπρ

ρ

φπ (g)

从（f ）和（g ）两式中消去m 1

⎪

⎭⎫ ⎝⎛dx d B φ，得剪应力的计算公式

m

1

3

132⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=r m m r T ρπτρ (h) 令r =ρ，得最大剪应力为

图

15.1