材料力学之四大基本变形

? ??
? 0.272 mm ( 缩短）
例1-3：图示空心圆截面杆，外径D＝20mm ，
内径d＝15mm ，承受轴向载荷F＝20kN作用，
材料的屈服应力 σ s＝235MPa，安全因数n s ＝ 1.5。试校核杆的强度。
解：杆件横截面上的正应力为
?
?N A
?
4F
? (D2 ? d2)
4(20?103 N)
的c点处则均受拉。? a ? ? d
即梁内的最大弯曲压应力 σc,max发生在截面 D的a点 处。至于最大弯曲拉应力 σt,max究竟发生在 b点处， 还是c点处，则须经计算后才能确定。概言之， a,b,c三点处为可能最先发生破坏的部位，简称为危 险点。
2.强度校核
?
a
?
MD ya Iz
?
(5.56?103N ?m)(0.095m) 8.84? 10?6 m4
构件受力和变形分析：
d 假设下板具有足够 的强度不予考虑
b
P
拉杆危险截面
上杆（蓝杆）受拉
t
P
最大拉力为 P 位置在右边第一个铆钉处。
拉杆强度计算：
?
?
N A
?
?b
P ?d
?t
?
80 ? 1000
?80 ? 16 ?? 10
?
125MPa??? ?
铆钉受剪切 工程上认为各个铆钉平均受力 剪切力为 P/4
? D3
32
(1 ? ?
4)
（1）求支座反力
? M A ? 0, M 0 ? RBl ? 0 ? M B ? 0, ? RAl ? M 0 ? 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
?
?
M0 l
RA
?
M0 l
AC 段 :
Q1 ?
RA ?
M0 l
M1 ?
RAx ?
M0 x l
(0 ? x ? a)
CB 段 :
轴：以扭转变形为主的杆件。
返回
小结
扭转圆轴的 切应力计算 公式：
??
?
T?
Ip
最大切应力公式? m ax
?
T Wp
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
相对扭转角
单位长度 相对扭转角
T
dj ? dx
GI p
?
?
j
l
?
T GI
p
( rad
m)
j ? Tl
GI p
?
?
j 180 ??
l?
T GIp
?
180 ?
? Y ? 0 RAy ? P1 ? Q ? 0
Q ? RAy ? P1
M ? RAy x ? P1?x ? a?
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
? ? My
横截面上 某点正应力
Iz
该截面惯性矩
某截面上最大 弯曲正应力发生在截 面的上下边界上：
?
max
?
M WZ
WZ 称为抗弯截面模量， Z 为中性轴 .
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线 重合。 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动
P
P
P
P
杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说横 截面上每一点的伸长量是相同的。
轴向拉压小结
1.轴力：拉正压负。轴力图
解: N1 ? N2 ? N3 ? ? 2 ?A2 ? 30? 252 ? 18.75KN
? l ? N1l1 ? N 2l2 ? N 3l3 E A1 E A2 E A3
?
?
?
18750
? ?
210 ?
109
? ??
?
0.2 ?0.02 2
4
?
0.4 0.0252
?
0.2
? ?
?
?0.012 2 4
?
9550 10 500
?
191Nm
mC
?
9550
NC n
?
9550
6 500
?
114 .6 Nm
计算扭矩：
m
?
A
x
T1
? MX ? 0
? MX ? 0
T1 ? mA ? 0
T2
mc
AB 段 T1设为正的 BC段 T2设为正的
T1 ? mA ? 76.4 Nm
T2 ? ? 114.6 Nm
例3-2：内外径分别为20mm和40mm 的空心圆 截面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上 A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5 kN
10.5 kN
M ( kN ?m) 2.5
C截面：? t
?
2.5 ? 88 Iz
? 28.8 MPa
4
?
c
?
2.5 ? 52 Iz
? 17.0 MPa
B截面：? t ?
4 ? 52 Iz
y1＝45mm 和y2＝95mm ，惯性矩 Iz＝8.84 ×10-6m4， 许用拉应力 [σt]=35MPa，许用压应力 [σc]＝140 MPa 。
解： 1．危险截面与危险点判断 梁的弯矩如图 b所示，在横截面 D 与B上，分别作
用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均 为危险截面。
截面D与B的弯曲正应力分布分别如图 c与d所示。 截 点面与由截D于的面MaBD的? dM点B ，处ya均?受yd压,因；此而，截面 D的b点与截面 B
铆钉强度计算:
?
?
4Q
?d 2
?
4? P /
?d2
4
?
80 ? 1000
? ? 16 2
?
99.5MPa??? ?
3.扭转
MnA'
g
A
Mn
?
B
x
j
B'
受力特点 ：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的
力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。
变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动 .
扭转角: 任意两截面间的相对角位移。
33.6MPa
由此 得
? c,max ? ? a ? 59.8MPa ? [? c ] ? t,max ? ? c ? 33.6MPa ? [? t ]
满足强度要求。
例：图示铸铁梁，许用拉应力[σ t ]=30MPa， 许用压应力[σ c ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4， 试校核此梁的强度。
(
?m)
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动
轮B输入功率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率
分别为 NA= 4KW 先计算外力偶矩
，
NC=A6 KW ，试B 计算该轴的扭矩C。x?
mA
?
9550
NA n
?
9550 4 500
?
76.4 Nm
mB
?
9550
NB n
CL5TU11
解：? A
?
T? A
Ip
?
?
1000 ? 15 ?404 (1? 0.54 )
? 63.66 MPa
32
? max
?
T Wp
1000
? ? ?403 (1? 0.54 )
? 84.88 MPa
16
? min
?
? max
?
10 20
? 42.44 MPa
例3-3：已知一直径d=50mm 的钢制圆轴在扭
Q
AB杆：? 2
?
N2 A2
?
? F2 A2
?
? 17.32KN 200 mm2
?
? 86.6 MPa
例1-2：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆 杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径 d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ 2=30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l
CL2TU10
?
5.98?107 Pa?
59.8MPa
?b
?
MD yb Iz
?
(5.56?103 N ?m)(0.045m) 8.84? 10?6 m4
?
2.83?107 Pa ?
28.3MPa
?
c
?
MB yc Iz
?
(3.13?103 N ?m)(0.09m5 ) 8.84?10?6m4
?
3.36?107 Pa?
A2 = 200mm 2，假设起吊物重为 Q = 10KN ，求各杆的应力。
首先计算各杆的内力：
需要分析B点的受力
? X ?0
? F1 cos 30?? F2 ? 0
? Y?0
F1 cos 60?? Q ? 0
F1 ? 2Q ? 20 KN
30? B
A
? y
F1
F2
? x
Q
1 F2 ? 2 3F1 ? 17.32KN
? ? [(0.02m0)2 ? (0.015m)2]
? 1.45? 108 Pa ? 145MPa
材料的许用压力为
[? ] ?
?s
ns
?
235?106 Pa 1.5
? 1.56 ? 108 Pa
? 156 MPa
工作应力小于许用应力，说明杆件能够 安全工作。
2.剪切
剪切变形的特点
外力与连接件轴线垂直 连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
也非常复杂，工程上往往采取实用计算的
办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压
面上
挤压力
? ? ? bs
?
P Abs
?
? bs
许用挤压应力 挤压面面积
例 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉杆 的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知 P=80KN， b=80mm ，t=10mm ，d=16mm ，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。
转角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，
G=80GPa。求该轴长度。
解： j ? T l (1)
GIp
T
? max ? Wp (2)
(1) 得：l ? jG I p
(2)
? max Wp
?
6 ? ? ? 80 ? 109 ? 0.05
180 90 ? 106 ? 2
? 2.33 m
4.弯曲
我们只研究矩形截面梁的弯曲
WZ ?
IZ ymax
一、变形几何关系
? ? (? ? y)d? ? ? d? ? y
? d?
? d? ?
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z ? 12 , WZ ? 6
? d4
I Z ? 64
? d3
, WZ ? 32
IZ
?
? (D4 ?
64
d4)
?
? D4
64
(1 ? ?
4)
WZ
?
Q2
?
RA
?
M0 l
集中力偶不使剪力图变化
M2 ?
RAx ?
M0 ?
M0 l
x?
M0
(a ? x ? l)
（3）画剪力图和弯矩
图
M
Mb ?0
max
l
集中力偶使弯矩图突变
例：图a所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为 T字形， 并承受均布载荷 q作用。试校核梁的强度。已知载荷集
度q＝25N /mm ，截面形心离底边与顶边的距离分别为
1、剪切强度的工程计算 工程上往往采用实用计算的方法
? ? F ? ?? ?
Aห้องสมุดไป่ตู้
上式称为剪切强度条件
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是 均匀分布 的。
2、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力 ? bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布
矩形截面梁有一个纵向对称 面当外力都作用在纵向对称面内，弯 曲也发生在该对称面内，我们称之为 平面因弯此曲，。我们可以用梁轴线的变形代表梁的
返回
截面法求剪力和弯矩
截面法：
?
ya P
RAx A
1
x
RAy
RAx
aP
1
RAy
P 切、留、代、平
m
2
B
? x
m
RB
QM
对截面中心建立力矩平衡
?方程 M ?0
M ? P1 ? ?x ? a?? RAy x ? 0
1 F1 ? 2Q ? 20 KN F2 ? 2 3F1 ? 17.32KN
C
由作用力和反作用力可知：
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1 AB杆的受力为压力，大 小等于 F2
最后可以计算的应力：
30? B
A
? y
F1
F2
? x
BC杆：
?1?
N1 ? A1
F1 A1
?
20 KN 100mm 2
?
200 MPa
2.横截面上的应力： ? ? N 或? = FN
A
A
3.变形公式：? l ? Nl 或? l ? FN l
EA
EA
4.强度条件： ? max ? [? ]
5.材料的力学性能：? ~ ?曲线
两个强度指标，两个塑性指标
例1-1 图示为一悬臂吊车， BC为
C
实心圆管，横截面积A1 = 100mm 2， AB为矩形截面，横截面积
? 27.3 MPa
?
c
?
4 ? 88 Iz
? 46.1 MPa