浅述影子价格的经济意义
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2.2单纯形法
2.2.1单纯形法的基本步骤
单纯形法的基本思路为从可行域的一个顶点到另一个顶点迭代求最优解。（目标函数极大化问题）单纯形法迭代的步骤如下：
(1)找到一个初始的基和相应基可行解（顶点），确定相应的基变量、非基变量（全部等于 ）以及目标函数的值，并将目标函数和基变量分别用非基变量表示。
(2)根据目标函数用非基变量表出的表达式中非基变量的系数，选择一个非基变量，使它的值从当前值 开始增加时，则目标函数值随之增加。这个选定的非基变量称为“换入基的变量”。
表2.3
基变量
非基变量
等式右边
系数矩阵
检验数
可见，在初始单位矩阵的位置经过迭代运算后，就是 的位置。
将数据代入初始单纯形表和最终单纯形表中可得下表：
表2.4
初始表
0
最终表
检验数
2.3.3影子价格及其与单纯形表的关系
影子价格通常指原问题线性规划对偶模型中对偶变量的最优解。影子价格是一种边际价格，当原问题得最优解 时，其对偶问题也得最优解 。代入各自函数有： ，求对 关于 的偏导数可得
第一章绪论
1.1影子价格的释义及思想标注参考文献
影子价格是一种理论价格。用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。这种影子价格反映劳动产品、自然资源、劳动力的最优使用效果。另外一种影子价格用于效用与费用分析。广泛地被用于投资项目和进出口活动的经济评价。
1.3研究影子价格的方法及步骤
影子价格的计算方法主要有单纯形法求对偶问题最优解，运用Excel“规划求解”功能等数学方法或其他工具（如编写程序），研究影子价格可分为以下步骤：
(1)提出和分析问题。一是要确定决策目标，二是要辨认哪些是决策中的关键因素，在选取时受到哪些限制。在上述分析的基础上，可列出表述问题的基本要素，确定限制变量的条件等。
2
2
6
300
利润（元/件）
10
6
4
用线性规划制定使总利润最大的生产计划。
解设产品甲，乙，丙的生产件数分别为 ，可获得的总利润为 ，可以建立如下的线性规划模型：
求解这个线性规划，可以得到最优解为：
最大利润为： 。
例2.2（最小值线性规划）靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
1.2影子价格的发展史
从影子价格引申出影子收费的问题。影子收费与影子价格的联系是很自然的，因为在运用影子价格的方式来解决非经营性城建项目没有正现金流的问题，以利于融资工具的操作，达到借用社会资本目的的过程中，并不存在非经营性城建项目所提供服务的现实交易市场，即每个享受服务的个人并不马上为此付费，而是通过市政府转移支付间接付费。这里只存在影子价格而不存在市场价格。
例2.1（最大值线性规划）某工厂拥有A,B,C三种类型的设备，生产甲、乙、丙三种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可获得的利润以及三种设备可利用的时数如表2.1所示。
表2.1
每件产品占用机时数（小时/件）
产品甲
产品乙
产品丙
设备能力
（小时）
设备A
1
1
1
100
设备B
10
4
5
600
设备C
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们都可以通过变换，将其化为标准形式。其标准形式为：
2.1.3线性规划问题的解的概念
设线性规划为：
其中系数矩阵为 的矩阵，设 ，并假设系数矩阵的秩为 ，即系数矩阵的各个行向量是线性无关的，则满足约束条件的 为可行解，满足目标函数的可行解为最优解。
定义2.1（线性规划的基、基变量、非基变量）标准化的线性规划问题的约束系数为 阶矩阵 ，矩阵的秩为 。矩阵中的一个非奇异的 子矩阵称为线性规划的一个基，与基矩阵对应的变量为基变量，其余的变量称为非基变量。
表2.5
Ⅰ Ⅱ
限制
设备台时
材料A
材料B
1 2
4 0
0 4
8台时
16kg
12kg
利润
2 3
求各资源的影子价格，并加以说明。
解设产品Ⅰ生产 件；产品Ⅱ生产 件；最大利润为 ，线性规划模型为：
用单纯形法求解，初始单纯形表为：
表2.6
2
3
0
0
0
0
8
1
2
1
0
0
0
16
4
0
0
1
0
0
12
0
4
0
0
1
最终单纯形表为：
表2.7
基可行解 ；目标函数的值
求解步骤：
(1)取可行基 ，求 ；
(2)若 ，则得最优解，否则转下一步；
(3)若 ，则 入基，
若 ，则 行对应的 出基。
(4)得到新的 ，求出此 的 。
重复(2)~(4)步知道求出结果。
2.3.2单纯形表与矩阵表示的关系
将上节中式（2-4）、（2-5）变形得：
单纯形表中的数据
(1)找初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表（表2.2）
表2.2
注： 列——基变量； 列——基变量的价值系数（目标函数系数）；
行——价值系数； 列——方程组右侧常数；
列——确定换入变量时的比率计算值；
底行——检验数 ；
中间——约束方程系数
(2)检验各非基变量 的检验数，若 ，则已得到最优解，可停止计算，否则进行下一步。
定义2.2（线性规划问题的基解、基可行解和可行基）对于线性规划的一个基（ 阶矩阵）， 个变量化为 个基变量、 个非基变量。令 个非基变量全等于 ，则 个基变量有唯一解。这样得到的 个变量的一个解称为基解。如果基解中的所有变量都是非负的，这个解称为基可行解。如果一个基对应的基解是可行解，这个基称为可行基。
影子价格是从资源有限性出发，以资源充分合理分配并有效利用为核心，以最大经济效益为目标的一种测算价格，是对资源使用价值的定量分析。萨缪尔森从3个方面对影子价格作了补充:第一，影子价格是以线性规划为计算方法的计算价格；第二，影子价格是一种资源价格；第三，影子价格以边际生产力为基础。
影子价格的定价思想是，资源的边际机会成本（MOC），既由社会所承担的消耗一种自然资源的全部费用，在理论上应是使用者为资源消耗行为所付出的价格P，即P= MOC。当P< MOC时会刺激资源过度使用，P> MOC时会抑制正常的消费。影子价格弥补了传统的资源经济学中忽视资源使用所付出的环境代价以及后代人或者受害者利益的缺陷。可以作为决策的有效判据用来判别有关资源环境保护的政策措施是否合理。
(3)在 中，若有某个 对应 的系数列向量 ，则此问题是无界解，停止计算。否则进行下一步。
(4)根据 ，确定 为换入基的变量，按 规则计算
可确定第 行的基变量 为换出基的变量。进行下一步。
(5)以 为主元素进行迭代（即用高斯消去法），把 所对应的列向量变换为 ，将 列中的第 个基变量换为 ，得到新的单纯形表，返回(2)。
在实际研究中，影子价格可能会随分配方案或资源价格的变化而改变，因此
以上步骤往往需要反复进行，其中一项主要工作就是建立一个用以描述现实世界复杂问题的数学模型。
本文的主要工作，论文章节安排
第二章线性规划的基本知识
2.1线性规划问题及其数学模型
2.1.1线性规划问题
线性规划是运筹学中最重要的一种系统优化方法。线性规划问题由目标函数、约束条件变量的非负约束三部分组成，最常见的线性规划问题主要有两种类型：最大（利润）值、最小（运费）值。
从历史上看，影子收费是由收费公路BOT项目遇到的问题所引发的。由于车流量难以准确预测，这就导致了风险和赢利完全取决于双方的谈判能力，为此，政府的选择常常是干预和合法违约，私人的选择则是贿赂和机会主义。为解决这一问题，英国国家审计署首先提出了“影子收费”的办法，即政府规定一个最低交通流量，如果低于这一流量，政府给予补贴，如果高于这一流量，双方分成。在这里，影子收费是作为正常收费（即显性收费）的补充出现的。影子价格就是最低交通流量所对应的通行费，就是政府与企业达成的公平价格，使企业的投资至少可得到必要的补偿，而政府也不必承担超额支付风险。这样，企业资本投资非经营性城市基础设施，由政府通过行政收费或税收等形式，来补偿非经营性城市基础设施的运营成本和资本成本，将影子价格作为计算政府需要支付给投资商的报酬，赋予项目一定的现金流。而每一个享用非经营性城市基础设施的市民通过上缴政府行政性收费或税收，间接交付使用非经营性城市基础设施的费用，这就是影子收费的应用。
如果换入基的变量的值增加时，所有基变量的值都不减少，则表示可行域是不封闭的，且目标函数值随换入基的变量的增加可以无限增大。
(4)将换入基的变量作为新的基变量，换出基的变量作为新的非基变量，确定新的基、新的基可行解和新的目标函数值。返回步骤(2)。
2.2.2单纯形表
用单纯形法求解线性规划时，专门设计了一种表格，称为单纯形表。迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。含初始基可行解的单纯形表称为初始单纯形表，含最优解的单纯形表称为最终单纯
1
0
0
1/4
0
0
4
0
0
-2
1/2
1
3
2
0
1
1/2
-1/8
0
14
0
0
-3/2
-1/8
0
由表2.7中的检验数可知各资源影子价格为：
。
这说明其他条件不变的情况下，若设备增加一台时，该厂按最优计划生产安排生产可多获利1.5元；原材料A增加1kg，可多获利0.125元；原材料B增加1kg，对获利无影响。
经过迭代运算后，可表示为：
基变量 ，非基变量 可包含原基变量和松弛变量。系数矩阵 ；其中 ；松弛变量 。 分别表示对应基变量、非基变量、松弛变量的系数矩阵。
线性规划问题则可表示为：
（2-1）
（2-2）
（2-3）
将式（2-2）移项整理后得：
（2-4）
代入目标函数：
（2-5）
令非基变量为0；由上式得到：
(2)利用线性规划模型求解最优生产组合。首先在问题的基础上建立线性规划的数学模型，模型表达了问题中可控变量、不可控变量、条件限制及最终目标之间的相互关系。模型建立后，根据问题的不同要求可求出最优解，找出相应资源的影子价格。当求解出现问题时，返回提出问题和建模阶段。
(3)评价分析。根据模型求解的结果，检验得到的解是否正确，当有较大误差时，应将实际问题和模型重新对比；检验正确后按照问题的目标，找出一个更合理或更好的分配方案。
2.3单纯形法的矩阵描述与影子价格
2.3.1单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题：
目标函数 ；
约束条件 ；
非负条件
给该线性规划问题的约束条件加入松弛变量以后得到标准型：
为 单位矩阵，
将系数矩阵 分为 两块。 是基变量的系数矩阵， 是非基变量的系数矩阵。决策变量分为 。将目标函数的系数 分为 ，分别对应于基变量 和非基变量 。并且记作 。
在单纯形法的每步迭代中，目标函数值取值 ，和检验数 中都有乘子 。设 是 的最优基，由 可知 。
对 求偏导数得： 。说明 的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下， 每增加一个单位时目标函数 的增量。
根据以上分析，在表2.4中可以看出，最终表中松弛变量检验数的绝对值就是相应资源的影子价格。
例2.3某工厂拥有A、B两种材料，生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，每件产品在生产中需要占用的设备台时数，材料消耗量，可获得的利润以及两种产品可利用的资源如表2.5所示；
第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
解设第一化工厂处理污水 万 ；第二化工厂处理污水 万 ；处理污水的总费用为 。可建立如下的线性规划模型：
2.1.2线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型的一般形式为[1]：
目标函数
约束条件
变量的非约束条件
记向量和矩阵分别为
价值向量 ；
决策变量向量 ；
资源向量
系数矩阵
则线性规划问题用向量和矩阵表示为：
如果任何一个非基变量的值增加都不能使目标函数值增大，则当前的基可行
解就是最优解。
(3)在基变量用非基变量表出的表达式中，观察换入基的变量增加时各基变量变化情况，确定基变量的值在换入基的变量增加过程中首先减少到 的变量，这个基变量称为“换出基的变量”。当换入基的变量的值增加到使换出基的变量的值降为 时，可行解移动到相邻的顶点。
2.2.1单纯形法的基本步骤
单纯形法的基本思路为从可行域的一个顶点到另一个顶点迭代求最优解。（目标函数极大化问题）单纯形法迭代的步骤如下：
(1)找到一个初始的基和相应基可行解（顶点），确定相应的基变量、非基变量（全部等于 ）以及目标函数的值，并将目标函数和基变量分别用非基变量表示。
(2)根据目标函数用非基变量表出的表达式中非基变量的系数，选择一个非基变量，使它的值从当前值 开始增加时，则目标函数值随之增加。这个选定的非基变量称为“换入基的变量”。
表2.3
基变量
非基变量
等式右边
系数矩阵
检验数
可见，在初始单位矩阵的位置经过迭代运算后，就是 的位置。
将数据代入初始单纯形表和最终单纯形表中可得下表：
表2.4
初始表
0
最终表
检验数
2.3.3影子价格及其与单纯形表的关系
影子价格通常指原问题线性规划对偶模型中对偶变量的最优解。影子价格是一种边际价格，当原问题得最优解 时，其对偶问题也得最优解 。代入各自函数有： ，求对 关于 的偏导数可得
第一章绪论
1.1影子价格的释义及思想标注参考文献
影子价格是一种理论价格。用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。这种影子价格反映劳动产品、自然资源、劳动力的最优使用效果。另外一种影子价格用于效用与费用分析。广泛地被用于投资项目和进出口活动的经济评价。
1.3研究影子价格的方法及步骤
影子价格的计算方法主要有单纯形法求对偶问题最优解，运用Excel“规划求解”功能等数学方法或其他工具（如编写程序），研究影子价格可分为以下步骤：
(1)提出和分析问题。一是要确定决策目标，二是要辨认哪些是决策中的关键因素，在选取时受到哪些限制。在上述分析的基础上，可列出表述问题的基本要素，确定限制变量的条件等。
2
2
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利润（元/件）
10
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4
用线性规划制定使总利润最大的生产计划。
解设产品甲，乙，丙的生产件数分别为 ，可获得的总利润为 ，可以建立如下的线性规划模型：
求解这个线性规划，可以得到最优解为：
最大利润为： 。
例2.2（最小值线性规划）靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
1.2影子价格的发展史
从影子价格引申出影子收费的问题。影子收费与影子价格的联系是很自然的，因为在运用影子价格的方式来解决非经营性城建项目没有正现金流的问题，以利于融资工具的操作，达到借用社会资本目的的过程中，并不存在非经营性城建项目所提供服务的现实交易市场，即每个享受服务的个人并不马上为此付费，而是通过市政府转移支付间接付费。这里只存在影子价格而不存在市场价格。
例2.1（最大值线性规划）某工厂拥有A,B,C三种类型的设备，生产甲、乙、丙三种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可获得的利润以及三种设备可利用的时数如表2.1所示。
表2.1
每件产品占用机时数（小时/件）
产品甲
产品乙
产品丙
设备能力
（小时）
设备A
1
1
1
100
设备B
10
4
5
600
设备C
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们都可以通过变换，将其化为标准形式。其标准形式为：
2.1.3线性规划问题的解的概念
设线性规划为：
其中系数矩阵为 的矩阵，设 ，并假设系数矩阵的秩为 ，即系数矩阵的各个行向量是线性无关的，则满足约束条件的 为可行解，满足目标函数的可行解为最优解。
定义2.1（线性规划的基、基变量、非基变量）标准化的线性规划问题的约束系数为 阶矩阵 ，矩阵的秩为 。矩阵中的一个非奇异的 子矩阵称为线性规划的一个基，与基矩阵对应的变量为基变量，其余的变量称为非基变量。
表2.5
Ⅰ Ⅱ
限制
设备台时
材料A
材料B
1 2
4 0
0 4
8台时
16kg
12kg
利润
2 3
求各资源的影子价格，并加以说明。
解设产品Ⅰ生产 件；产品Ⅱ生产 件；最大利润为 ，线性规划模型为：
用单纯形法求解，初始单纯形表为：
表2.6
2
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最终单纯形表为：
表2.7
基可行解 ；目标函数的值
求解步骤：
(1)取可行基 ，求 ；
(2)若 ，则得最优解，否则转下一步；
(3)若 ，则 入基，
若 ，则 行对应的 出基。
(4)得到新的 ，求出此 的 。
重复(2)~(4)步知道求出结果。
2.3.2单纯形表与矩阵表示的关系
将上节中式（2-4）、（2-5）变形得：
单纯形表中的数据
(1)找初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表（表2.2）
表2.2
注： 列——基变量； 列——基变量的价值系数（目标函数系数）；
行——价值系数； 列——方程组右侧常数；
列——确定换入变量时的比率计算值；
底行——检验数 ；
中间——约束方程系数
(2)检验各非基变量 的检验数，若 ，则已得到最优解，可停止计算，否则进行下一步。
定义2.2（线性规划问题的基解、基可行解和可行基）对于线性规划的一个基（ 阶矩阵）， 个变量化为 个基变量、 个非基变量。令 个非基变量全等于 ，则 个基变量有唯一解。这样得到的 个变量的一个解称为基解。如果基解中的所有变量都是非负的，这个解称为基可行解。如果一个基对应的基解是可行解，这个基称为可行基。
影子价格是从资源有限性出发，以资源充分合理分配并有效利用为核心，以最大经济效益为目标的一种测算价格，是对资源使用价值的定量分析。萨缪尔森从3个方面对影子价格作了补充:第一，影子价格是以线性规划为计算方法的计算价格；第二，影子价格是一种资源价格；第三，影子价格以边际生产力为基础。
影子价格的定价思想是，资源的边际机会成本（MOC），既由社会所承担的消耗一种自然资源的全部费用，在理论上应是使用者为资源消耗行为所付出的价格P，即P= MOC。当P< MOC时会刺激资源过度使用，P> MOC时会抑制正常的消费。影子价格弥补了传统的资源经济学中忽视资源使用所付出的环境代价以及后代人或者受害者利益的缺陷。可以作为决策的有效判据用来判别有关资源环境保护的政策措施是否合理。
(3)在 中，若有某个 对应 的系数列向量 ，则此问题是无界解，停止计算。否则进行下一步。
(4)根据 ，确定 为换入基的变量，按 规则计算
可确定第 行的基变量 为换出基的变量。进行下一步。
(5)以 为主元素进行迭代（即用高斯消去法），把 所对应的列向量变换为 ，将 列中的第 个基变量换为 ，得到新的单纯形表，返回(2)。
在实际研究中，影子价格可能会随分配方案或资源价格的变化而改变，因此
以上步骤往往需要反复进行，其中一项主要工作就是建立一个用以描述现实世界复杂问题的数学模型。
本文的主要工作，论文章节安排
第二章线性规划的基本知识
2.1线性规划问题及其数学模型
2.1.1线性规划问题
线性规划是运筹学中最重要的一种系统优化方法。线性规划问题由目标函数、约束条件变量的非负约束三部分组成，最常见的线性规划问题主要有两种类型：最大（利润）值、最小（运费）值。
从历史上看，影子收费是由收费公路BOT项目遇到的问题所引发的。由于车流量难以准确预测，这就导致了风险和赢利完全取决于双方的谈判能力，为此，政府的选择常常是干预和合法违约，私人的选择则是贿赂和机会主义。为解决这一问题，英国国家审计署首先提出了“影子收费”的办法，即政府规定一个最低交通流量，如果低于这一流量，政府给予补贴，如果高于这一流量，双方分成。在这里，影子收费是作为正常收费（即显性收费）的补充出现的。影子价格就是最低交通流量所对应的通行费，就是政府与企业达成的公平价格，使企业的投资至少可得到必要的补偿，而政府也不必承担超额支付风险。这样，企业资本投资非经营性城市基础设施，由政府通过行政收费或税收等形式，来补偿非经营性城市基础设施的运营成本和资本成本，将影子价格作为计算政府需要支付给投资商的报酬，赋予项目一定的现金流。而每一个享用非经营性城市基础设施的市民通过上缴政府行政性收费或税收，间接交付使用非经营性城市基础设施的费用，这就是影子收费的应用。
如果换入基的变量的值增加时，所有基变量的值都不减少，则表示可行域是不封闭的，且目标函数值随换入基的变量的增加可以无限增大。
(4)将换入基的变量作为新的基变量，换出基的变量作为新的非基变量，确定新的基、新的基可行解和新的目标函数值。返回步骤(2)。
2.2.2单纯形表
用单纯形法求解线性规划时，专门设计了一种表格，称为单纯形表。迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。含初始基可行解的单纯形表称为初始单纯形表，含最优解的单纯形表称为最终单纯
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由表2.7中的检验数可知各资源影子价格为：
。
这说明其他条件不变的情况下，若设备增加一台时，该厂按最优计划生产安排生产可多获利1.5元；原材料A增加1kg，可多获利0.125元；原材料B增加1kg，对获利无影响。
经过迭代运算后，可表示为：
基变量 ，非基变量 可包含原基变量和松弛变量。系数矩阵 ；其中 ；松弛变量 。 分别表示对应基变量、非基变量、松弛变量的系数矩阵。
线性规划问题则可表示为：
（2-1）
（2-2）
（2-3）
将式（2-2）移项整理后得：
（2-4）
代入目标函数：
（2-5）
令非基变量为0；由上式得到：
(2)利用线性规划模型求解最优生产组合。首先在问题的基础上建立线性规划的数学模型，模型表达了问题中可控变量、不可控变量、条件限制及最终目标之间的相互关系。模型建立后，根据问题的不同要求可求出最优解，找出相应资源的影子价格。当求解出现问题时，返回提出问题和建模阶段。
(3)评价分析。根据模型求解的结果，检验得到的解是否正确，当有较大误差时，应将实际问题和模型重新对比；检验正确后按照问题的目标，找出一个更合理或更好的分配方案。
2.3单纯形法的矩阵描述与影子价格
2.3.1单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题：
目标函数 ；
约束条件 ；
非负条件
给该线性规划问题的约束条件加入松弛变量以后得到标准型：
为 单位矩阵，
将系数矩阵 分为 两块。 是基变量的系数矩阵， 是非基变量的系数矩阵。决策变量分为 。将目标函数的系数 分为 ，分别对应于基变量 和非基变量 。并且记作 。
在单纯形法的每步迭代中，目标函数值取值 ，和检验数 中都有乘子 。设 是 的最优基，由 可知 。
对 求偏导数得： 。说明 的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下， 每增加一个单位时目标函数 的增量。
根据以上分析，在表2.4中可以看出，最终表中松弛变量检验数的绝对值就是相应资源的影子价格。
例2.3某工厂拥有A、B两种材料，生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，每件产品在生产中需要占用的设备台时数，材料消耗量，可获得的利润以及两种产品可利用的资源如表2.5所示；
第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
解设第一化工厂处理污水 万 ；第二化工厂处理污水 万 ；处理污水的总费用为 。可建立如下的线性规划模型：
2.1.2线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型的一般形式为[1]：
目标函数
约束条件
变量的非约束条件
记向量和矩阵分别为
价值向量 ；
决策变量向量 ；
资源向量
系数矩阵
则线性规划问题用向量和矩阵表示为：
如果任何一个非基变量的值增加都不能使目标函数值增大，则当前的基可行
解就是最优解。
(3)在基变量用非基变量表出的表达式中，观察换入基的变量增加时各基变量变化情况，确定基变量的值在换入基的变量增加过程中首先减少到 的变量，这个基变量称为“换出基的变量”。当换入基的变量的值增加到使换出基的变量的值降为 时，可行解移动到相邻的顶点。