统计学第四章_平均指标和变异指标

代表水平，反映数据分布的集中趋势。
一是根据各项数据来计算的平均指标，它能够概括反映所
有各项数据的平均水平，这种平均指标称为数值平均数。 二是把总体中处于特殊位置上的数据看做平均数，这种平 均值称为位置平均数。 数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数 位置平均数：众数、中位数
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5
二.平均数的种类及计算
=1.92+3.4+5.4+4.37+3=18.09（件）
⑷根据组距数列计算的加权算术平均数，
只是一个近似值。
cyz
16
4.算术平均数的主要数学性质
(1)平均数与总次数之积等于总体标志总量。
x n = x
x

f = xf
(2)各标志值与算术平均数的离差之和等于零。
( x - x ) = 0
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对数的区别——分子与分母是否一一对应关 系。 7
※平均数与强度相对数的区别
【例】某工厂有职工100人，其中工人90人，


上月生产某产品1800件。则： 平均数： 工人劳动生产率=1800/90=20件/人 强度相对数： 全员劳动生产率=1800/100=18件/人
◎计算平均数时，若已知总体单位总量和标
f1 f 2 f n
x2 f2
f
i =1
n i =1
i
= x1
f
f1
f
xn
f
fn
= xi
i =1
n
fi
f
i
cyz
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※关于加权算术平均数的几点说明
【例】根据前例100名工人日产零件分组的
权重资料，计算平均每人日产零件数：
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X=16×0.12+17×0.2+18×0.3+19×0.23+20×0.15
若各买1千克，可用简单算术平均法计算：
平均价格：x = x = 0.5+0.4+0.2 = 0.37元/千克 3 n 若各买1元(或等额)，则用简单调和平均法计算： 平均价格：H =
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x
n = 1
3 1 + 1 + 1 = 0.32元/千克 0.5 0.4 0.2
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2.加权调和平均数
10
加权算术平均数
若所给资料为一变量数列，则需要先将各组
的标志值乘以次数，得出各组的标志总量， 并加总出总体标志总量，再除以各组次数之 和（总次数），求得平均数。 公式：
x = x 1 f1 x f1 f2 … x f2 … f n
2 n
fn
=
xf
f
式中：n为组数，ｆ为各组次数，ｘ为各组
x = x n
cyz
=
20+21+22+24+25 5
= 22.4（件）
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3.加权算术平均数(资料已分组）!
每人日产零件 数（件）Ｘ 16 17 工人数（人） ｆ 12 20 权重系数 f/∑f 0.12 0.20
18 19
20
30 23
15
0.30 0.23
0.15
合计
cyz
100
1.00
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说明总体一般水平上有独到的作用。
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◎众数的确定方法
1.单项数列的众数
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众数的确定非常容易，次数较多的组的标志
值就是众数。
2.组距数列的众数 需要先确定众数组，然后利用上限公式和下
限公式计算众数。
下限公式：M
0
= LM 0
f M 0 - f M 0 -1
f M 0 - f M 0 1
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3.加权平均数的应用
m xf xf H= = = m xf f x x =x
上式可见，加权调和平均数实际上是加权算术平均


cyz
数的变形，两者只是适用的资料不同： 已知标志值和单位总量时，计算加权算术平均数; 已知标志值和标志总量时，计算加权调和平均数。 同理，由相对数或平均数数列计算平均数： ①分子、分母资料齐全，可直接加总、对比； ②有分子资料、无分母资料，加权调和平均； ③有分母资料、无分子资料，加权算术平均。
标志值（组距数列以组中值代替）。
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◎由单项数列计算加权算术平均数
【例】某车间100名工人，按日产零件数分组编制
的单项数列如下表：
每人日产零件数 （件）Ｘ 工人数（人） ｆ 每组日产零件数（件）
xf
16 17 18 19 20
合 计
12 20 30 23 15
100
192 340 540 437 300
x
=
f
=
A
x
nA
=
x
n
简单算均数是加权 算均数的一个特例
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※关于加权算术平均数的几点说明
⑶权数作用的实质，不在于各组次数多少，
而在于各组次数占总次数的比重即权重系数 的大小。因此，加权算术平均数可采用权重 系数作权数。 x f x f xn f n x1 f1 x2 f 2 xn f n 公式： x = 1 1 2 2 = n
统计学
第四章 平均指标和变异指标
——静态分析之二
课件制作：
教学目的
通过本章教学，使同学们——
明确平均指标、变异指标的意义； 掌握平均指标、变异指标的计算方法； 了解计算和运用平均指标的原则；
能够对现象进行一般水平分析和变异分
析。
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教学内容
总ຫໍສະໝຸດ Baidu分布特征值 平均指标（集中趋势）
1809
则，平均每人日产零件数为：
x f 1809 = = 18. 09（件） x = f 100
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◎由组距数列计算加权算术平均数
【例】50名工人日产量分组资料：
日产零件（个） 105~109 110~114 115~119 120~124 125~129 130~134 135以上 合 计 工人数f 3 5 8 14 10 6 4 50 组中值x 107 112 117 122 127 132 137 —
都适合用几何平均法计算平均比率或平均速度。
几何平均数有简单几何平均数和加权几何平均数
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1.简单几何平均数
当各个变量值未经分组或出现次数相同时，
采用简单几何平均数。 公式： n
G=
x1 × x2 × …× x n = P x
n
例：某企业生产某种产品要经过三个连续作业才
能完成，某月份第一车间产品的合格率为95%， 第二车间产品合格率为93%，第三车间产品合格 率为90%，求该产品的企业合格率（即三个车间 的平均合格率）为多少？
平 均 数
算术 平均数
调和 平均数
几何 平均数
众数
中位数
位置平均数
分位数
数值平均数
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（一）算术平均数<法>
1.算术平均数的基本公式
算术平均数是根据总体各单位标志值的算
术和计算的平均数。 它是计算平均数最常用的方法。 基本公式： 总体标志总量
算术平均数 = 总体单位总量
注意平均数与具有“平均” 意义的强度相
一分厂平均成本:
x
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二分厂平均成本:
H =
xf = f
279.8 = 508.73 = . 元 5500
m
m x
=
419.5 = 8000 524.37元
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（三）几何平均数G
几何平均数是ｎ个变量值连乘积的ｎ次方根。
它是计算平均比率或平均速度专用的方法。
凡是各变量值的连乘积等于总比率或总速度的情况，
( f M 0 - f M 0 -1 ) ( f M 0 - f M 0 1 )
dM0
dM0
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上限公式： M 0 = U M 0 cyz
( f M 0 - f M 0 -1 ) ( f M 0 - f M 0 1 )
【例】组距数列的众数
某村农户人均纯收入
人均纯收入 （百元） 10以下 10--20 20--30 30--40 40以上 合 计 农户数 （户） 30 60 90 70 50 300
x - x = min
2
( x - x) f = 0
x - x f = min
2
(3)各标志值与算术平均数的离差平方和最小。
简单算术平均数
cyz
加权算术平均数
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（二）调和平均数H
调和平均数是各个标志值倒数的算术平均数
的倒数，故又称倒数平均数。 它是在已知标志值和标志总量而无总体单位 数时，计算平均数的一种变通方法。
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○由相对数数列计算平均数
【例】某公司下属三个企业1、2月份产值计划执行情况 1月产值 企业 计划 名称 计划完 成(%)ｘ (万元)f
甲 乙 丙 合计 102 110 95 — 50 40 60 150
2月产值 实际 计划完成 实际 xf (%)ｘ (万元)ｍ
51 44 57 152 94 104 100 — 51.7 46.8 56.0 154.5
一批 二批 三批 合计 520 510 500 — 一分厂 二分厂 总成本( 万元)xf 78.0 91.8 110.0 279.8
产量
(件) f 1500 1800 2200 5500
单位成 总成本 产量(件) 本(元)ｘ (万元)ｍ ｍ/x
500 520 550 — 100.0 182.0 137.5 419.5 2000 3500 2500 8000
1.简单调和平均数 当各标志值对应的标志总量为1 或相等时，
采用简单调和平均法计算平均数。 1 由定义可得公式： H = 1 1 1
x1
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x2
...
=
xn
1 x
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n
n
◎简单调和平均数算例
【例】有三种蔬菜，价格（元/千克）分别为0.5、
0.4和0.2。试计算其平均价格。 购买额 平均价格 = 购买量
算术平均数 数值
平均数
变异指标（离中趋势）
极 差
调和平均数 几何平均数
平 均 差 方 差
位置
平均数
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众 中 位
数 数
标 准 差 离散系数
3
第一节 平均指标
平均指标的意义 平均指标的种类及计算
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一、平均指标的意义
（一）平均指标的概念及特点
平均指标也叫平均数，反映总体分布的一般水平、
当各标志值对应的标志总量不等时，存在权数问
题，应以标志总量作权数，对标志值的倒数进行 加权，计算加权调和平均数。 公式： m m +… m m
H =
m x
1
1
1
m x
2
2
2
...+
m x
k
=
k
k
m x
【例】前例三种蔬菜，若各买3、2、1元，则：
3 2 1 6 = = = 0.375(元 / 千克) 平均价格：H 2 1 16 3 0.5 0.4 0.2
cyz
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2.加权几何平均数
当各个变量值有不同的次数出现时，应采用
加权几何平均数。公式：
G =
f 1 f 2 ... f k
f1 x
1
f 2 ... x
2
f k = f P x
k
x
f
【例】某银行近25年的投资年利率情况是：3%有1
年，4%有4年，8%有8年，10%有10年，15%有2年。 求平均年利率。 注：在计算平均年利率时，应还原为本利率。
计划 ｍ/x
55 45 56 156
公司1月份
计划完成% 公司2月份 计划完成%
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x =
H =
xf f
152 = = 101 . 33 % 150
= 154.5 156 = 99 . 04 %
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m m x
○由平均数数列计算平均数
【例】某企业两个分厂生产A产品的有关资料
产品 单位成 批次 本(元)ｘ
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(四)众数MO
众数是总体中出现次数最多的标志值。
因其符合“集中趋势”这一平均数特征，
故可作为平均数使用。 说明：1、在总体单位数较多，且具有明显 的集中趋势时，可以用众数表示集中趋势 代表值。2、众数不是唯一的。
【例】1、2、3、3、3、4、5， MO=3=ｘ。
众数的优点是不受极端标志值的影响。在
xｆ
321 560 936 1708 1270 792 548 6135
解：50名工人的平均日产量： xf 6135 = = = x （个） f 50 122.7
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※关于加权算术平均数的几点说明
⑴加权算术平均数受标志值和次数两个因素
的影响。标志值既定，次数对平均数具有权 衡轻重作用，故称 “权数”或 “权重”。 加权算术平均数总是趋近于次数较多的标志 值。 ⑵若各组次数相同（f＝Ａ常数），权数作 用相同或消失。此时加权算术平均数等于简 单算术平均数，即： xf
志总量，可用基本公式。
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2.简单算术平均数(资料未分组）
若所给资料是总体各单位的标志值，则先将
各标志值简单相加得出标志总量，再除以标 志值的个数，求得平均数。 x1 x2 ... xn x 公式： x= = n n
【例】某机械厂5名工人，每人日产零件数分别为
20、21、22、24、25件。则人均日产零件数为：