高中数学《导数及其应用》章末复习

3．利用导数判断函数的单调性应注意 (1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通 过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还要 注意定义区间内的不连续点或不可导点． (3)命题“如果 f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当 f(x)在(a， b)内为增函数时，f′(x)≥0，如 f(x)＝x3.由于 f′(x)≥0 时，f′(x)可能恒为 0， f(x)也就恒为常数，所以由 f′(x)≥0 不能得到 f(x)是单调增函数．因此，课本 上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件．
二、求函数的单调区间 [典例 2] 设 a∈R，讨论定义在(－∞，0)的函数 f(x)＝31ax3＋a＋12x2＋(a ＋1)x 的单调性．
解 f′(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋a＋1 ＝(x＋1)(ax＋a＋1)，x<0. ①若 a＝0，则 f′(x)＝x＋1，当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递 减；当 x∈(－1,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
四、恒成立问题 [典例 4] 已知 f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立， 求实数 m 的取值范围．
解 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令 f′(x)＝0，即 3x2－x－2＝0， ∴x＝1 或 x＝－23.
答案
当 x∈－1，－23时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当 x∈－23，1时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当 x∈(1,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 所以当 x＝－23时，f(x)取得极大值 f－23＝5＋2227；当 x＝1 时，f(x)取得极 小值 f(1)＝72.
故当 a∈－∞，－257∪(1，＋∞)时，曲线 y＝f(x)与 x 轴仅有一个交点．
答案
拓展提升 一般地，只有一个极大值和一个极小值的函数，当函数 f(x)的极大值小于 零或函数 f(x) 的极小值大于零时，图象与 x 轴仅有一个交点．或函数有两个 极值点，一个是 x1(极大值点)，另一个是 x2(极小值点)函数 f(x)有一个零点的 充要条件是 f(x1)·f(x2)>0.
答案
(ⅲ)若 a<－1，则当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈ －1，－1－a1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当 x∈－1－1a，0时，f′(x)<0， f(x)单调递减．
答案
拓展提升 导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究 涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向 思维等等．
5．极值与最值的区别 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最 值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念． (2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值， 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值 则可能不止一个，也可能没有极值．
答案
又 f(－1)＝121，f(2)＝7. 因此，f(x)在[－1,2]上的最大值为 f(2)＝7. 要使 f(x)<m 恒成立，须 f(x)max<m，即 m>7. 所以所求实数 m 的取值范围是(7，＋∞)．
答案
拓展提升 本题中要使 m>f(x)恒成立，只要 m 大于 f(x)的最大值即可，从而求出 f(x) 的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f(x)<m 恒成立”改为“f(x)>m 恒成立”，则只需求出 f(x)的最小值即可．
答案
x
－∞，－13
－13
f′(百度文库)
＋
0
－13，1 －
1 (1，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以 f(x)的极大值是 f－13＝a＋257，极小值是 f(1)＝a－1.
答案
(2)因为函数 f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1. 由此可知，x 取足够大的正数时，有 f(x)趋于＋∞，取足够小的负数时， 有 f(x)趋于－∞，所以曲线 y＝f(x)与 x 轴至少有一个交点，从(1)中可知 f(x) 的单调性，可画出草图．
答案
令 y＝0 得切线与 x 轴的交点为3a22a－3 3，0， 则有3a22a－3 3＝－a，
解得 a＝± 515或 a＝0.
由已知 a>0，所以 a 的值为
15 5.
答案
拓展提升 要求 a 的值，需利用导数的几何意义写出过 P 点的曲线 C 的切线方程， 求出该切线与 x 轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义， 要注意条件 a>0.
答案
故 f(x)≤g(a)＋4. ②当 a≥1 时，g(a)＝－2＋3a，故 h(x)＝x3－3x＋2，得 h′(x)＝3x2－3， 此时 h(x)在(－1,1)上是减函数，因此 h(x)在[－1,1]上的最大值是 h(－1) ＝4.故 f(x)≤g(a)＋4. 综上，当 x∈[－1,1]时，恒有 f(x)≤g(a)＋4.
解 (1)不妨设 A 烟囱喷出的烟尘量为 1，则 B 烟囱喷出的烟尘量为 8， 由 AC＝x(0<x<20)，可得 BC＝20－x；
依题意，点 C 处的烟尘浓度 y 的函数表达式为 y＝xk2＋20k－·8x2(0<x<20)． (2)对(1)中的函数表达式求导得 y′＝－2xk3 ＋201－6kx3 ＝2k9x3－6x03x22＋0－12x003 x－8000； 令 y′＝0，得(3x－20)·(3x2＋400)＝0；
答案
②若 a≠0 时，则 f′(x)＝a(x＋1)x＋1＋1a. (ⅰ)若 a>0，则当 x∈－∞，－1－1a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当 x∈ －1－1a，－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈(－1,0)时，f′(x)>0，f(x)单 调递增. (ⅱ)若－1≤a<0，则当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x ∈(－1,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
答案
若 x∈[a,1]，则 f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3>0，故 f(x)在(a,1)上是 增函数．
所以 g(a)＝f(a)＝a3. ②当 a≥1 时，有 x≤a，则 f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故 f(x) 在[－1,1]上是减函数，所以 g(a)＝f(1)＝－2＋3a. 综上，g(a)＝－a3，2＋0<3aa<，1，a≥1.
《导数及其应用》 章末复习
知识系统整合
规律方法收藏 1．导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义 求曲线的切线方程，要注意当切线平行于 y 轴时，这时导数不存在，此时的 切线方程为 x＝x0. 2．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导 公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此 观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．
答案
又 0<x<20，∴x＝230. ∵当 x∈0，230时，y′<0；当 x∈230，20时，y′>0， ∴当 x＝230时，y 取最小值． 故存在点 C，当 AC＝230 km 时，该点的烟尘浓度最低．
答案
拓展提升 在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量， 并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为 未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于 0，得到导数为 0 的点；(4) 通过单调性确定出函数的最值点以及最值．
答案
(2)证明：令 h(x)＝f(x)－g(a)， ①当 0<a<1 时，g(a)＝a3. 若 x∈[a,1]，h(x)＝x3＋3x－3a－a3，得 h′(x)＝3x2＋3，则 h(x)在(a,1) 上是增函数，所以 h(x)在[a,1]上的最大值是 h(1)＝4－3a－a3，且 0<a<1，所 以 h(1)≤4. 故 f(x)≤g(a)＋4； 若 x∈[－1，a]，h(x)＝x3－3x＋3a－a3，得 h′(x)＝3x2－3，则 h(x)在(－ 1，a)上是减函数，所以 h(x)在[－1，a]上的最大值是 h(－1)＝2＋3a－a3. 令 t(a)＝2＋3a－a3，则 t′(a)＝3－3a2>0， 知 t(a)在(0,1)上是增函数．所以 t(a)<t(1)＝4，即 h(－1)<4.
五、利用导数证明不等式 [典例 5] 已知函数 f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若 f(x)在[－1,1]上的最小值记 为 g(a)． (1)求 g(a)； (2)证明：当 x∈[－1,1]时，恒有 f(x)≤g(a)＋4.
解 (1)因为 a>0，－1≤x≤1，所以 ①当 0<a<1 时， 若 x∈[－1，a]，则 f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故 f(x)在(－1， a)上是减函数；
4．利用导数研究函数的极值要注意 (1)可导函数 f(x)在点 x0 取得极值的充分必要条件是 f′(x)＝0，且在 x0 左 侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0 是 x0 为极值点的必要非充分条件． (2)极值点也可以是不可导的，如函数 f(x)＝|x|在极小值点 x0＝0 处不可导． (3)求一个可导函数的极值时，常常把使 f′(x0)＝0 的点 x0 附近的函数值 的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然．
三、求函数的极值与零点的综合问题 [典例 3] 设 a 为实数，函数 f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求 f(x)的极值； (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y＝f(x)与 x 轴仅有一个交点．
解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1，若 f′(x)＝0，则 x＝－13或 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
答案
拓展提升 在利用导数解决函数问题时，可以利用导数的相关性质来解决函数的单 调性、极值等问题，关键是正确掌握对应导数的性质与应用，特别注意分类 讨论思想的应用．对于含参问题，一定要对参数进行合理正确分类，做到不 重不漏．
六、利用导数解决实际问题 [典例 6] 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知 A、B 两座烟 囱相距 20 km，其中 B 烟囱喷出的烟尘量是 A 烟囱的 8 倍，经环境检测表明： 落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的 烟尘量成正比(比例系数为 k)．若 C 是 AB 连线上的点，设 AC＝x km，C 点的 烟尘浓度记为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数表达式； (2)是否存在这样的点 C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出 AC 的 距离；若不存在，说明理由．
答案
当 f(x)的极大值 a＋257<0，即 a∈－∞，－257时，它的极小值也小于 0， 因此曲线 y＝f(x)与 x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上．
当 f(x)的极小值 a－1>0，即 a∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于 0，因此 曲线 y＝f(x)与 x 轴仅有一个交点，它在－∞，－13上．
6．导数的实际应用 利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审 题，分析各个量的关系，列出函数式 y＝f(x)，然后利用导数求出函数 f(x)的 最值，求函数 f(x)的最值时，若 f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据 实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较．
学科思想培优 一、导数几何意义的应用 [典例 1] 设曲线 C：y＝x3－3x 和直线 x＝a(a>0)的交点为 P，在 P 点的 曲线 C 的切线与 x 轴交于点 Q(－a,0)，求 a 的值． 解 依题意yx＝ ＝xa3，－3x， 解得 P(a，a3－3a)． y′＝3x2－3， 所以在 P 点斜率为 3a2－3 的曲线 C 的切线方程为 y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．