电动力学-矢量分析与场论讲解

方向导数描述了在特定点处，数量场沿指定方向的变化率
计算公式 u u cos u cos u cos
l x
y
z
其中
方向导数最大值与方向
u u cos u cos u cos
l x
y
z
l方向上的单位矢量




l 0 cosi cos j cosk
(
A


B
)
B

B(
A

A)

A(
B

B)
去掉下标
(A B) (B )A (A)B B( A) A( B)
证毕
强调：
1： ▽ 是一个算符，不能看成一个矢量
没有对 做微分运算
对 做了微分运算
2： 哈密顿算法的简易运算方法，三个步骤是一 个整体，缺一不可，不能单独使用。
极限、连续、导数、微分、积分
极限
连续
导数
矢性函数的极限、连续、导数、微分， 积分
一个矢性函数的（ ），可以用三个有序的数 性函数的（ ）来描述（或表示）。
极限、连续、导数、微分、积分
微分
不定积分
定积分
矢量运算的基本方法
当两个矢量运算时，先进行基矢间的 运算，然后再进行函数间的运算。基 矢之间的运算规则是与运算符相邻的 两个基矢之间发生运算关系。基矢运 算只有点、叉、并运算。而函数间运 算包含了乘、微分、积分等关系。


lim
t t0
A(t)

lim
t t0
Ax (t)i
lim t t0
Ay (t)
j
lim t t0
Az (t)k
lim
t t0
Ax (t)

A0
x
,
lim
t t0
Ay (t)

A0
y
,
lim
t t0
Az (t)

A0 z
矢性函数的极限




lim
t t0
A(t)

lim
积分变换式--1
高斯公式（奥式公式）
A

P(
x,
y,
z)i

Q(
x,
y,
z)
j

R(
x,
y,
z)k

P Q R

S
A dS


(
x

y

Z
)dV
上式能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体
积分，反之亦然。
采用▽符号来表示，可将上式写成：


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A dS ( A)dV
)k
y z
z x
x y
A


算符
哈密顿算符矢量公式
矢量公式
在下面的公式中 r 为矢径
证明算子 ▽ 的公式 例 ：证明
哈密顿算符的运算方法
“先微分，后矢量”
分为三步： 第一步：利用▽的微分性，将所求表达式分成几项，每一项中 ▽只作用于一个函数上。
(uv) uv vu
a
[b

(c

d )]

a
[c(b

d)

(b

c)d]

(a

c)(b

d)

(b

c)(a

d)
于是可得，
(a

b)

(c

d)

(a

c)(b

d)

(b

c)(a

d)
概念 – 常矢：模和方向都保持不变的矢量。零 矢量方向任意，作为常矢特例。
z
A0 ,
e(
A)
x
A
y
矢量的加、减
加、减
矢量的加、减，满足平行四边形法则。 以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线 就是这两个矢量的和或差。
如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量
的和(差)的分量等于这两个矢量对应分量的和(差)。
a

b

c

bx

cx
设矢性函数 At 在t0点的某个邻域内有定义(但t0点可以没
有定义) ，A0
满足 0 t
为一常矢，若 0都
t0
时，定有


A(t) A0

，0，就使称得A当0为t
矢性函数 At 当
时的极限。
记为：

lim
t t0
A(t)

A0
根据极限运算性质可得到
采用▽符号来表示，可将上式写成：


A dl ( A) dS
l
S
场
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量 的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场
数量场：温度，密度，电位 矢量场：电场强度，力，速度
稳定场： 不稳定场：
数量场的等值面和等值线：
矢量分析与场论—数学预备
• 矢量及基本运算 • 矢性函数的运算规则 • 哈密顿算子及其简易计算方法 • 积分变换式：高斯公式、斯托克斯公式 •场 • 梯度、散度、旋度 • 有势场 • 管形场
矢量
矢量：既有大小（模），又有方向
a A 数量
矢量的坐标表示方法

A Axi Ay j Azk

zk
z
x Ax (t) y Ay (t) z Az (t)
M A t
o
ly
距离矢量：
x




r e(r0 r1) PM (x0 x1)i (y0 y1) j (z0 z1)k
z

P r
r1

M
r0
o
y
x
矢性函数的极限
极限定义
先微分





(
A

B)


A

(
A

B)


B

(
A

B)
再矢量




A

(
A

B)

(
B


A
)
A

B(
A

A)




B
(A
B)

A(
B

B)

(
A


B
)
B



(
A

B)

(
B


A
)
A

矢量的基矢运算规则
哈密顿算符
哈密顿算符是一个矢性微分算符，在运算中具有矢量和微分的
双重性质。在直角坐标系中，可表示为


i

j

k
x y z
其运算规则是：
u (i

j

k

)u

u
i

u
j

u
k
x y z x y z

电动力学--2013
• 邹正峰 求是楼 233# • 9-16周 16次课
68948795
• 期末考试80% 平时成绩20% • 每周交一次作业
电动力学
• 矢量分析与场论 • 电动力学
• 参考书： – 《矢量分析与场论》 谢树艺，高教出版社 – 《电动力学》 郭硕鸿，高教出版社 – 《电动力学简明教程》 俞允强，北大出版社
(即它在三个坐标轴的投影)显然都是t 的函数.
矢性函数的坐标为
Ax t Ay t Az t
矢性函数的坐标表达式为：




A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
矢性函数可以用三个有序的 数性函数表示
矢端曲线，矢径，距离矢量
矢径：
r

OM

xi

yj

为函数u(M) 在点M处的
取矢量
G

u
i
u
j
u
k
x y z
有
u

G
l 0

G
cos(G,l 0 )
l
梯度
定义

若在数量场u(M) 中的一点M处，存在这样的一个矢量 G ，其
方向为函数u(M) 在M点处变化率最 大的方向，其模也正好是
这个最大变化率的数值。则称矢量G
梯度，记作：
作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。
a

b

c

b
c
sin(b, c)
并矢
并矢
又可以表示为
并矢与张量
张量：就是有坐标的量 ，它们不随参照系的坐标变换 而变化
坐标组一个指标的，就是一阶张量，在三维迪卡尔坐标 系里，具有三个与坐标相关的独立变量集合，矢量
坐标组两个指标的，就是二阶张量矩阵，在三维迪卡尔 坐标系里，具有九个与坐标相关的独立变量集合，并矢
矢量场的矢量线：曲线的每一点均与对应该点的矢量相切
方向导数
定义
设M0为数量场 u = u(M) 中的一点，从点
出发引一条射线l,在l上的点M0的临近取一 动点M，记 M0M ，如右图。若当
l
M→M0时比式 u uM uM 0
M

M0M
M0
的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0 处沿l方向的方向导数。
基矢
矢量可以用三个有序的 数量表示 ( Ax , Ay , Az )
a
A
矢量
ex , ey , ez e1, e2 , e3
z
A
y
x
矢量
矢量的模

A A A2 A2 A2
x
y
z
单位矢量
A0
A

Axi Ay j Azk
A
Ax2 Ay2 Az2
i

(by

c
y
)
j

(bz

cz
)k
标积
标积
两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。
a

b

c

b
c
cos(b, c)
如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量 的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。
矢积 ×积，或矢积 矢积是一个矢量，其大小等于以两矢量为邻边所
S

积分变换式--2
斯托克斯公式




A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

A dl (Ry Qz )dydz (PZ Rx )dxdz (Qx Py )dxdy
l
S
上式能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界 的任意曲面的面积分，反之亦然。
– 变矢：模和方向只要有一个会变化（除 零矢量外）即为变矢。
矢性函数的定义
设有数性变量t和变矢
A
，如果对于t在某个范
围G内的每一 个数值，A 都以一个确定的矢量和它
对应，则称 A 为数性变量t的矢性函数，记作
A

At

并称G为函数
A
的定义域
矢性函数
矢性函数 At在 Oxyz 直角坐标系中的三个坐标
(uv) u (uv) v (uv) vuu uvv
或
(uvc ) (ucv) vcu ucv
第三步，抹去下标，得到结果
(uv) vu uv
例：证明
先微分 再矢量
去掉下标 证毕
例 ：证明
先微分 再矢量
去掉下标 证毕
例 ：证明
(A B) (B )A (A)B B( A) A( B)
此时可在▽算符的下标标明算符所作用的函数
(uv) u (uv) v (uv)
或者在▽算符不作用的函数下加临时的常数标记
(uv) (uvc ) (ucv)
哈密顿算符的运算方法
第二步：将算符看成一个矢量，利用矢量的性质重新排列，使 得算符紧邻着排在它所作用的函数前面，而把不被作用的函数 移到算符作用范围外面
t t0
Ax
(t
)i

lim
t t0
Ay (t)
j

lim
t t0
Az (t)k
A0xi A0 y j A0zk
一个矢性函数的极限，可以用三个有序的数性函数 的极限来描述（或表示）。
矢性函数的极限、连续、导数、微分， 积分
一个矢性函数的（ ），可以用三个有序的数 性性函数的（ ）来描述（或表示）。
A
(i
x

j
y
k


z ) ( Axi
Ay j
Az k )

Ax x

Ay y

Az z

i jk
A



x y z
Ax Ay Az

( Az

Ay
)i
( Ax

Az
)j
( Ay

Ax
例：证明
(a
b)

(c

d)

(a

c)(b

d)

(b

c)(a

d)
证明：
c

d
是一个矢量，令
m

c

d，有：
(a

b)

(c

d)a(a(bb)m)m
a
[b

(c

d )]
利用三矢量的矢积公式可以得到，
依次类推，三阶，四阶……
本课程中，如无特别指明，张量均指二阶张量
矢量的运算符
标量的运算符
矢量的运算符
三矢量的混合积
三矢量的混合积
三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个 矢量为棱的平行六面体的体积。
a
b

c

ax bx
ay by
az bz
cx cy cz
aa(b(ccb))bb(c(aa)cc) (acb()b a)
三矢量的矢积
三矢量的矢积
三个矢量的矢积，可以表示为括号内两矢量的线性组合，
系数分别为括号外的矢量与括号内的另一矢量的点积，
括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的
一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。
(a

b)

c

(c a)
b

(c
b)
a
“远交近攻”