6.3 实数(第1课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

6.3 实数(第1课时)

一、内容和内容解析

1．内容

无理数和实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系．

2．内容解析

本节在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围．本章的内容在中学数学中占有重要地位，它不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及锐角三角函数等知识的基础，也是学习高中数学中的函数、不等式等知识的基础．学生在七年级上学期学习了有理数，在本章前两节的学习过程中知道了许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数．本节先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引入无理数，揭示出有理数和无理数的联系与区别，有助于学生理解实数的定义．随着无理数的引入，实数概念的出现，数的范围由有理数扩充到实数．接着类比用数轴上的点表示有理数指出实数与数轴上的点的一一对应关系．实数的概念贯穿于中学数学学习的始终，学生对实数的认识是逐步加深的．

基于以上分析，本节课的教学重点：了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系．

二、教材解析

教材采用与有理数对照的方法引入无理数，并给出实数的概念和分类．随着无理数的引入，数的范围从有理数扩充到实数，这个扩充过程既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化．教材通过探究在数轴上画出表示 和2的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数的范围由有理数扩充到实数后，数轴上的点与实数就是一一对应的．

二、教学目标和目标解析

1．教学目标

(1)了解无理数和实数的概念．

(2)知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想．

2．目标解析

(1)给出一些实数，会辨析哪些是有理数，哪些是无理数，并能自己举例说明．

(2)能在数轴上找到表示2，π 这样的无理数的点，知道给定一个实数，数轴上就有唯一确定的点与之对应；反之，数轴上给定一个点，就有唯一的实数与之对应．

三、教学问题诊断分析

无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其严格的数学定义非常高深，再加上初中生对无理数几乎没有任何感性认识，甚至对无理数是否真正存在还有质疑，因此认识无理数就成了初中学习中的一个难点．为了突破这一难点，应从学生熟悉的有理数入手，通过与有理数对照的方法引入无理数的概念，进而揭示出有理数和无理数的联系与区别．

基于以上分析，本节课的教学难点：对无理数的认识．

四、教学过程设计

1．探究新知

问题1 有理数包括整数和分数，如果将下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 25，－53，4

27，911，119． 预案：如果学生不能正确得到结论．教师追问：你能否从这些小数的形式特点上来加以说明？如果学生能正确得到结论，教师再问：任意写一个分数，一定都能写成有限小数或无限循环小数的形式吗？请举例说明．

师生活动：教师引导学生观察，得到结论：如果把整数看成小数点后是0的小数，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，教师直接给出结论：任何有限小数和无限循环小数也都是有理数．

【设计意图】让学生从探究活动开始，体会有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．学生举例，可能会出现循环节是多位的循环小数，教师要充分引导，以进一步加强学生的认识．

问题2 你认为小数除了上述类型外，还会有什么类型的小数？

师生活动：通过对数的归纳辨析，与有理数对照，师生共同归纳出前两节学过的一些平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不同于有限小数和无限循环小数，是一类不同于有理数的数，由此教师给出无理数的概念：无限不循环小数叫无理数．并指出π＝3.141 592 65…也是无理数．像有理数一样，无理数也有正负之分．例如：2，33，π 是正无理数，－2，－33，－π是负无理数．进而给出实数的概念及实数的分类：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0

【设计意图】让学生回忆曾经学过的无限不循环小数是不同于有理数的数，为教师引出无理数的概念作准备．

问题 3 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数分类吗？

师生活动：教师在参与讨论时，启发学生类比有理数的分类，明确分类的基本原则：按照某个标准，不重不漏．学生独立思考后，小组讨论得到

【设计意图】通过学生互相讨论和交流，可以加深对无理数和实数的理解，同时让学生明确实数的分类可以有不同的方法，初步形成对实数整体性的认识．

例1 下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

5，3.14，0，3，－

3

4，75.0 ，－4，－π，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．

师生活动：学生根据有关概念进行判断．

【设计意图】对有关概念进行辨析．

问题 4 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示无理数2的点吗？ 师生活动：学生独立思考后小组讨论交流，借助上节课2的得出方法和手中的学具进行操作(图1)．

图1

【设计意图】通过具体操作，让学生知道无理数也可以在数轴上表示．

问题5 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′ 对应的数是多少？

⎪⎩

⎪⎨⎧负实数0正实数

实数

师生活动：教师参与并指导实际操作，指出无理数π可以用数轴上的点表示出来(图

2)．本节由于学生知识水平的限制，学生不可能也不必要将所有无理数都用数轴上的点表示出来，所以解决了问题4，5后，教师直接给出实数与数轴上的点是一一对应的结论．

图2

【设计意图】通过直径为1个单位长度的圆在数轴上的滚动，让学生知道无理数 π 也可以在数轴上表示．

2．应用新知

例2 判断正误，并说明理由．

(1) 无理数都是无限小数；

(2) 实数包括正实数、0、负实数；

(3) 不带根号的数都是有理数；

(4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数． 师生活动：学生根据有关概念进行判断．

【设计意图】对有关概念进行辨析．

例3 把下列各数填入相应的集合内：15，4，16，3

2，273-，0.15，－7.5，－π，0，2.3

． ①有理数集合：｛ …｝；

②无理数集合：｛ …｝；

③正实数集合：｛ …｝；

④负实数集合：｛ …｝．

练习

(1)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0．4583，3.7 ，－π，－7

1，18，－2． (2)在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数．

…

… 有理数集合

无理数集合