二阶四点边值问题上下解方法

二阶四点边值问题上下解方法
二阶四点边值问题，也叫二阶拉格朗日方程，就是求在一个特定边界条件下，特定求未知函数及其导数的问题。

可以用有限差分法来求解这个问题。

首先把整个问题区域划分为N等分，前两和最后两个节点是边界节点，离散后得到N-1个数学方程，可以求出N-1个节点处的未知函数值和N-2个节点处的线性近似函数的系数。

进一步泰勒展开，将从第三节点开始的N-2个函数值都线性近似，那么在第二节点开始，开始使用二次项进行非线性近似，依次类推，直到在边界节点B处，得到的是二阶拉格朗日的曲线。

从而求得整个空间内的函数值。

下解就是把已知边界条件求出来的N-1个线性方程，从新拼接成N-2个全部是二次项形式，从而代入上解得到的系数得出一系列二次方程，通过求解二次方程，也可以求出空间内每个节点处的函数值。

总结一下，二阶四点边值问题通过有限差分法，用于解决在特定边界条件下，特定求未知函数及其导数的问题，通过上解和下解的方法，都可以得出空间间的每个节点处的函数值。