预测控制主要算法

动态矩阵控制
从1974年起，动态矩阵控制(DMC)就作为一种有约束的多变量优化控制算法应用在美国壳牌石油公司的生产装置上。

1979年，Cutler等在美国化工年会上首次介绍了这一算法。

二十多年来，它已在石油、化工等部门的过程控制中获得了成功的应用。

DMC算法是一种基于对象阶跃响应模型的预测控制算法，它适用于渐近稳定的线性对象。

对于弱非线性对象，可在工作点处首先线性化；对于不稳定对象，可先用常规PID控制使其稳定，然后再使用DMC算法。

1． 模型预测
DMC 中的预测模型是用被控对象的单位阶跃响应来描述的。

当在系统的输入端加上一控制增量后，在各采样时刻T t =、T 2、…、NT 分别可在系统的输出端测得一系列采样值，它们可用动态系数a
、a 、…、a 来表示，这种用动态系数和输入量来特性，就是被控
N 是阶跃响应的截断点，称为模型长度，N 的选择应使过程响应值已接近其稳态值，一般选N=20~60。

因此，对象的阶跃响应就可以用集合{}N
a a a ,...,,2
1
来描述。

这样，根据线性系统的比例和叠加性质，利用这一模型，在给定的输入控制增量
T
M k u k u k u k U )]1(),...,1(),([)(-+D +D D =D 作用下，系统未来时刻的输出预测值：
)1()1()()()(ˆ)1()()2()2(ˆ)()1()1(ˆ11012010-+D +++D +D ++=++D +D ++=+D ++=++--M k u a k u a k u a P k y P k y
k u a k u a k y k y
k u a k y k y
M P P P L M 其中，y 0(k+j)是j 时刻无控制增量作用时的模型输出初值，将上式写成矩阵形式为：
)()1()1(ˆ0k U A k Y k Y D ++=+ （2-20）
式中
[][]
T
T P k y k y k Y P k y k y k Y
)()1()1(,)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ000++=+++=+L L
M
P M P P P
M M a a a a a a a a a A ´+---úú
úúúúúûùêêêê
êêêëé=11
111
21
L
M L M
M L O
M M 为动态矩阵。

模型输出初值是由k 时刻以前加在输入端的控制增量产生的，假定从(k －N)到(k －1)时刻加入的控制增量分别为：Δu (k-N )、Δu (k-N +1)、…、Δu (k-1)，而在k －N －1时刻以前的控制增量为零，则有：
)
1()2()1()()()()
1()3()2()1()()2()
1()2()1()()1(1210310210-D +-D ++++-D ++-D ++-D =+-D +++-D ++-D ++-D +-D =+-D +++-D ++-D +-D =+++---k u a k u a P N k u a P N k u a N k u a P k y k u a N k u a N k u a N k u a N k u a k y k u a N k u a N k u a N k u a k y P P N N N N N N N N N N L L M
L L
形式：
)1(-D k U
（2-21）
úúúúû
ù
êêêêëé-D +-D -D =-D úúúú
ûù´++---)1()1()()1(,12
13412321k u N k u N k u k U a a a a a a a a a a N P P P N N N N M L L M M
L M L L
一步变换，将控制增量化为全量形式，并注意到
，则有：
)1(00-k U （2-22）
其中
úúú
úû
ù
ê
êêêëé-+-+-=-úúúúûùê
êê
êë
é=++---)1()2()1()1(,1322413210k u N k u N k u k U a a a g g g g g g g g g A P P N N N N N N M
M L M L O L L ，g i =a i －a i-1
将式（2-22）代入式（2-20）中，即可求出用过去施加于系统的
控制量表示初值的预测模型输出了：
)1()()1(ˆ0-+D =+k U A k U A k Y （2-23）
上式表明，预测模型输出由两部分组成：第一项为待求的未知控制增量产生的输出值；第二项为过去控制量产生的已知输出初值。

2. 反馈修正
利用实测输出y (k )和预测值)(ˆk y
之差e (k )= y (k )－)(ˆk y 对预测输出)(ˆj k y
+进行反馈修正，得到校正后的输出预测为： )()(ˆ)(k he j k y
j k y c ++=+ （2-24）其中，h 为为反馈校正系数，一般取h =1。

写成矩阵形式：
)()1()()()1(ˆ)1(0k He k U A k U A k He k Y
k Y c +-+D =++=+ （2-25）
其中H =[h 1, …, h P ]。

二次型指标函数：
)()()]1()1([)]1()1k U R k U k Y k Y Q k Y T s c T s D D ++-++-+ （2-26）
最优控制：
)]()1()1([)()(01k He k U A k Y Q A R QA A k U s T
T ---++=D - （2-27）当前时刻的控制增量：
)]()1()1([)(01k He k U A k Y d k u c T
---+=D （2-28）
式中行。

的第为1)(11Q A R QA A d T
T T
-+
若只执行当前时刻的控制增量Δu(k)这一步，则只需计算（2-28）即可。

DMC算法所用的模型建立比较容易，可直接从脉冲响应中得到，但需储存大量历史数据，计算量也比较大。

图2-5 DMC算法结构
从结构上分析，DMC算法属于输出反馈结构，当模型准确且无干扰时，反馈回路不存在，所以要求控制器和被控过程都稳定。

4. 参数整定
（1） 一般的说，P 越大，M 越小，系统的稳定性越好，但系统的响应越慢；当P=M 时，若系统能稳定，可达到理想控制，
但控制作用变化较大，鲁棒性差。

由于预测控制只在每个采样时刻实行当前控制作用)(k u D ，可以证明，当P=M 时，不管预测长度有多大，都相当于P=M =1的控制。

（2） 在很多情况下，可以选用M=1，Q=I ，R=0，以P 为调整参数。

这时，动态矩阵A 蜕变为P ×1向量，使计算得到简化，调整参数只有P ，使实际应用中的整定易于进行；P 越大，系统稳定性越好，控制作用越小，但系统的响应越慢。

（3） P 的选择应使)(R QA A T
+的逆存在。