中心极限定理

解： 记某时在工作着的车床 数为 X， 则 X ~ B(200,0.6) .
设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题 r k 意有： P{ X r} C200 (0.6) k (0.4) 200 k
k 0
r 200 0.6 200 0.6 ( ) ( ) 200 0.6 0.4 200 0.6 0.4
X 14 14 14 } (2). P{ X 14} P{ 0.2 0.2 X 14 1 P{ 0} 1 (0) 1 0.5 0.5 0.2
大数定律及中心极限定理
例6 一加法器同时收到20个噪声电压 Vk (k 1,2,,20) ， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间 (0,10) 上 服从均匀分布，记 20 V Vk
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
k 1
~ N (0,1)
( n )
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大数定律及中心极限定理
定理（德莫佛-拉普拉斯定理） (De Moivre--Laplace) 设随机变量 n (n 1,2,) 服从参数为n,p(0<p<1)的二 项分布 ，即 n ~ B(n, p).
X 1 X - 100 P{ 0.02} P{ 0.02} 600 6 600 1 5
P {X - 100 12} 1 DX 122 1 600 6 6 0.4213 144
大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有 大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 定义1： 设 Y1 ,, Yn , 是随机变量序列， a 是一个常数； P{| Yn a | } 1 若对任意 0 ，有: nlim P a。 则称 Y1 ,, Yn , 依概率收敛于 a ，记为Yn 定义2： 1 n 设 X 1 , , X n , 是随机变量序列，令Yn X k ，
大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学 科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重 复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去 寻求必然的规律，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此 导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛， 其中最重要的有两种:
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大数定律及中心极限定理
§2 中心极限定理
r 120 r 120 ( ) (17.32) ( ) 0.999, 48 48 查表得 r - 120 3.1 所以 r 141. 48
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间 不会因供电不足而影响生产。
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大数定律及中心极限定理
例3 设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成， 每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工 作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统 正常工作的概率。
§2 中心极限定理
解：设X是损坏的部件数，则 X~B(100,0.1)。则整个 系统能正常工作当且仅当 X 15. 由中心极限定理有
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大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理（贝努里大数定律） 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 发生的概率， 则：对任意的 0 ，有
n
lim P{|
nA p | } 1 n
P{| 或 nlim
nA p | } 0 n
3 ,4
，有：
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大数定律及中心极限定理
例1
§1 大数定律
绝对值不超过0.02的概率。 解：设X表示600粒种子中良种的粒数 1 1 5 EX 600 , DX 600 . 6 6 6 由切比雪夫不等式有
1 假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒， 6 试用切比雪夫（Chebyshev）不等式和中心极限定理 1 分别估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的 6
此定理说明了频率的稳定性。
大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理（辛钦大数定律） 设 X1,, X n , 相互独立同分布， 且具有数 学期望 EXk ，k 1,2,, n,，
则：对任意的 0 ，有
n
lim P{|
1
X n
i 1
n
i
| } 1

k 1
求 P{V>105}近似值。
V - 20 5 105- 20 5 P{V 105} P 2 2 10 / 12 20 10 / 12 20
102 解： EVk 5，DVk ， (k 1,2,,20) ，由定理 1 知： 12
V - 100 V - 100 P 0.387 1 P 0.387 (10 / 12) 20 (10 / 12) 20
则：对任意的 0 ，有:
1 n 望及方差， EXk ，DXk ，k 1,2,， 令 Yn X k ， n k 1
2
1 n lim P{| Yn | } lim P{| X k | } 1 n n n k 1 1 n 或 lim P{| X k | } 0 n n k 1
2
2
P{| X | } 1 /
2
2
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大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情 况下，事件{| X | } 的概率的一种估计方法。
例如：在上面不等式中，取
P{| X | 3 } 0 .8889 P{| X | 4 } 0 .9375
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B(n, p), 其中 n 200,p 0.05,np 10, np(1- p) 3.08. 设有N条外线。由题意有 P{ X N } 0.9
例5 设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分 布.每箱中装有这种产品100件. 求 (1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少. (2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少. 解: n=100，设Xi是第i件产品的强度, EXi=14， DXi=4，i=1,2, ,100. 1 n 每箱产品的平均强度记为 X X i . n i 1 根据中心极限定理
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大数定律及中心极限定理
例4 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要 使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？
N np X np P P{ X N } np(1 p) np(1 p) N np N 10 . np(1 p ) 3.08 N - 10 查表得(1.28) 0.90.故 N 应满足条件 1.28, 3.08 即 N 13.94. 取 N 14, 即至少要安装14 条外线。
X 即 X 14 即 X 14 近似∼N(0,1), 2 0.2 100 n
X 14 ~ N (0,1) 0.2 于是 X 14 14.5 14 (1). P{ X 14.5} P{ } 0.2 0.2
X 14 X 14 P{ 2.5} 1 P{ 2.5} 0.2 0.2 1 (2.5) 1 0.9930 0.0062
1 (0.387) 0.348
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X 100 0.1 15 100 0.1 P{ X 15} P 100 0.1 0.9 100 0.1 0.9 15 100 0.1 5 3 0.952. 100 0.1 0.9
X np X ~ B(n, p), n充分大时，有： ~ N (0,1) np(1 p)
X EX ~ N (0,1) DX
大数定律及中心极限定理
例2
§2 中心极限定理
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产。
n k 1
0 ，有 若存在常数序列 a1 , , an , 使对任意 lim P{| Yn an | } 1 ，或 lim P{| Yn an | } 0 ， n n
则称{X n} 服从大数定律。
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大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理（切比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量 X1,, X n , 相互独立， 且具有相同的数学期
大数定律 与 中心极限定理 大数定律的客观背景
大量的随机现象中 平均结果的稳定性
大数定律及中心极限定理
§1.大数定律
§1 大数定律
不等式) 定理：（切比雪夫不等式） (Chebyshev 设随机变量X有数学期望 EX , 方差 DX 2 , 对任意 >0, 有:
P努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
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大数定律及中心极限定理
§2.中心极限定理
定理（独立同分布的中心极限定理） 设 X 1 ,, X n , 是独立同分布的随机变量序 2 EX ， DX 0, ( k 1,2,) 列，且 k k
§2 中心极限定理
X
k 1