冲激响应求解举例 信号与线性系统分析(4版)电子教案

n2,m 1,nmht中 不 包 含 冲 激 项 带ε(t)
冲激响应 h (t)(C 1 e t C 2 e 3 t)(t)
两种求待定系数方法：•求0+法 • 奇异函数项相平衡法
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法一：求0+值确定系数
d
2
d
h t
t2
a
t
b
t
r1
t
设
d
h t
dt
a
t
r2
t
ht r3 t
h 0 1 ,h '0 2
根据系数平衡，得
3CC11
C2 C2
h(t)1et e3t (t)
1 C1 2C2
1
2 1
2
2
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aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + r1(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) ] + 6[aδ(t) + r3(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)
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（3）
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ r1(t) （4）
对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12
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对t>0时，有 h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0
代入初始条件
h(0+) = – 3， h’(0+) =12 求得C1=3，C2= – 6, 所以
h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得
h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
冲激响应求解举例1
求系统
d2 dty2 (t)4dd y(tt)3y(t)的d 冲d ft(激t) 响2应f(t)。
解：将f(t)→(t)， y(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
求特征根
2 4 3 0 1 1 ,2 3
h t C 1 C 2 t C 1 3 C 2 t C 1 e t 9 C 2 e 3 t t
将h(t),h(t),h(t)代 入 原 方 程
C 1 C 2 ( t ) 3 C 1 C 2 ( t ) 0 ( t ) ( t ) 2 ( t )
代入h(t)，确定系数C1,Байду номын сангаас2，得
h(t)1(ete3t)(t)
2
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法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h ( t) C 1 e t C 2 e 3 t ( t)
h (t) C 1 e t C 2 e 3 t (t) C 1 e t 3 C 2 e 3 t (t) C 1 C 2 (t) C 1 e t 3 C 2 e 3 t (t)
整理得
aδ”(t)+ (b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)
利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12
所以 h(t) = δ(t) + r3(t)
（2）
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + r2(t)