电磁场数值分析第13讲

z 2
z 2
n
z
z 2
nz 1 nz 3 / 2
z
图 3 电磁场时间离散示意图
第13讲 FDTD基本原理
由(9b)可得：
( n z , nt 1) ( n z , nt ) Ex Ex ( nz ) O[( t ) 2 ] E x (t ) t t
( 17) ( 18)
B( R, t ) E ( R, t ) J m ( R, t ) t
安培-麦克斯韦电路定律
法Biblioteka Baidu第定律
场
源
B ( R, t ) E ( R, t ) [ ] J e ( R, t ) u t
安培-麦克斯韦电路定律
( n z 1)
(n
z
2) (n t 1)
图 5 蛙跳算法示意图
第13讲 FDTD基本原理
对(21,22)式引入归一化量,则可得到归一化场量的 离散方程式：
1 ( nz , nt 1) ( nz , nt ) ( nz 1 , nt 1 ) , nt ) ) ( nz 1 ( nz , nt 1 2 2 2 2 2 Ex Ex t [ H y Hy ] t J ex
( nz 1/ 2, nt 1/ 2) Hy
( n z 2 , nt ) Ex
( n z 1, nt ) Ex
E x( n z , nt )
z 2
nz 1 / 2
E x( n z 1, nt )
z 2
nz 1 / 2
z 2
nz 2
z 2
nz 3 / 2 nz 1
( 2)
相应的本构关系为：
D ( R , t ) E ( R , t ) B( R, t ) H ( R, t )
( 3)
则可以得到:
( , ) ( , ) E R t H R t J e ( R, t ) t H ( R, t ) E ( R, t ) J ( R, t ) m t
( 7)
可得到1维麦克斯韦方程组中的旋度方程为： 设：
1 1 ( , ) ( , ) E z t H z t J ex ( z , t ) y t x ˆ ( , ) ( , ) E R t E z t e 0 z 0 x x ˆ ( , ) ( , ) H R t H z t e y y H ( z, t ) 1 E ( z, t ) 1 J ( z, t ) y x my 0 z 0 t
( 4)
第13讲 FDTD基本原理
特殊地，真空中的本构关系为：
D ( R, t ) 0 E ( R, t ) B ( R, t ) u 0 H ( R, t )
( 5)
则可知：
E ( R, t ) H ( R, t ) J e ( R, t ) t 0 H ( R, t ) E ( R, t ) J ( R, t ) 0 m t
(8a) (8b)
第13讲 FDTD基本原理
对上式中的空间变量以及时间变量分别利用具有二阶精 度的中心差分近似：
z z f z f z ( ) ( ) df ( z ) 2 2 O[( z ) 2 ] dz z t t f (t ) f (t ) df ( x) 2 2 O[( t ) 2 ] t dt
E x : t nt t
H y : t ( nt 1 / 2) t
( nz 3/ 2, nt 1/ 2) Hy ( nz 1/ 2, nt 1/ 2) Hy
nt nt
=1,……., N t =1,……., N t
( nz 3/ 2, nt 1/ 2) Hy
(15a) (15b)
( n z 3 / 2)
( nt 1 / 2 )
E
( n z 1)
x
(n z )
( n z 1)
(n
z
2)
(nt)
H
y
(nz 3 / 2)
(n z 1 / 2)
(n z 1 / 2)
( n z 3 / 2)
( nt 1 / 2 )
E
( n z 1)
x
(n z )
( 19)
由(14)与(18)可得(8b)的差分形式：
第13讲 FDTD基本原理
H
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
H t
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
1 1 1 1 nz 2 n z 1 nz [ E x (t ) E x (t )] J my (t ) 0 z 0
(13)
1 1 nz nz 1 1 1 nz nz E x (t ) [ H y 2 (t ) H y 2 (t )] J ey (t ) 0 z 0 t
(14 )
第13讲 FDTD基本原理
下面我们接着讨论(12)与(14)对时间变量的微分 运算。如图3所示，若我们令磁场的采样时刻为：
第13讲 FDTD基本原理
Hy
nt 1 2
E
nt x
Hy
nt
1 2
t n
E xn t
Hy
nt
1 2
E xnt 1
图 4 电磁场量交替迭代的蛙跳算法
第13讲 FDTD基本原理
（离散）显式一维FDTD在时空交错网格中的蛙跳算法
H
y
(nz 3 / 2)
(n z 1 / 2)
(n z 1 / 2)
z 2
nz 1
(a) 电场与其周围磁场
(b) 磁场与其周围电场
第13讲 FDTD基本原理
( n z 3 / 2) ( n z 1) ( n z 1 / 2 ) ( n z ) ( n z 1 / 2 ) ( n z 1) ( nz 3 / 2) ( nz 2) Hy Hy Ex Ex Ex H y Ex H y
z 2
z 2
z 2
z 2
z 2
z 2
z 2
nz 2 nz 3/ 2 nz 1 nz 1/ 2 n z
nz 1/ 2 nz 1 nz 3/ 2
(c)电磁场分量在空间上的分布 图 2 电磁场空间离散位置示意图
H y : z ( n z 1 / 2 ) z
nz nz
2
(11) (12)
1 1 nz 1 1 1 nz 2 H y (t ) [ E xnz 1 (t ) E xnz (t )] J my 2 (t ) 0 z 0 t
1 1 1 t t ( nz ) H y (nz )] O[(z ) 2 ] H y ( z, t ) [H y 2 z z 2 z n z z
第13讲 FDTD基本原理
直角坐标系中的时域有限差分方法
1. 一维情形
简单地说，将麦克斯韦方程组中的旋度方程分解为 6 个 （电磁场各三个）标量方程以后，运用差分近似来代替各微 分运算，即可得到麦克斯韦方程的时域有限差分计算格式。 首先回顾麦克斯韦方程组：
B Jm E t D H t J e D B 0
1
( 22)
至此，(21)与(22)构成了1维麦克斯韦方程组的显式差 分运算方程。
第13讲 FDTD基本原理
这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应 定律和安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场量的空 间相对位置也适合于麦克斯韦方程的差分计算，能够恰当 的描述电磁场的传播特性。此外，电磁场在时间顺序上交 替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使得麦克斯 韦旋度方程离散以后构成了显式差分方程，从而可以在时 间上迭代求解。这种电磁场量随时间交替变化可用图4形象 表示。 因此，由给定相应电磁问题的初始值， FDTD 方法就 可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。我 们仍以 1 维麦克斯韦旋度方程的求解为例，其电磁场分量 的空间与时间离散如图5所示。
1
( 21)
由(20)整理可得：
H
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
H
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
t t ( n z 2 , n t ) ( n z 1, nt ) ( n z , nt ) Ex [E ] J 0 z x 0 my
( 20)
由(19)整理可得：
E
( n z , nt 1) x
E
( n z , nt ) x
( n z , nt ) ( n z , nt ) t t ( n z , n t 2 ) [ H y 2 2 H y 2 2 ] J ex 0 z 0
1
1
1
1
Nz =1,…….,
(10a) (10b)
E x : z n z z
=1,……., N z
由( 8)- ( 9)可得：
第13讲 FDTD基本原理
1 t t E x ( z, t ) [Ex (n z 1) E x (n z )] O[(z ) 2 ] 1 z z z ( nz ) z
(1)
第13讲 FDTD基本原理
其旋度方程可分别写为：
t t D ( R, t ) H ( R, t ) J e ( R, t ) B ( R, t ) E ( R, t ) J m ( R, t )
( 6)
这种电磁场之间的耦合关系可以用图1表示为：
第13讲 FDTD基本原理
H ( R, t ) E ( R, t ) J m ( R, t ) t 法拉第定律 场 源
E ( R , t ) H ( R , t ) J e ( R , t ) t
1 H ( nz 2 ) Hy (t ) t
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
H t
1 1 ( n z , nt ) 2 2 y
O[( t ) 2 ]
由(12)与(17)可得(8a)的差分形式：
1 1 ( n z , nt 1) ( n z , nt ) nz nz Ex Ex 1 1 1 nz [ H y 2 (t ) H y 2 (t )] J ey (t ) 0 z 0 t
(9a) (9b)
则由(8a)式，将磁场分量与电场分量在不同位置处离散， 1 如图2所示。 1 1 (n ) (n ) (n ) (n ) ( n 1)
Hy
z
2
( nz ) Ex
Hy
z
2
Ex
z
Hy
z
2
Ex
z
1 nz 2
z 2
nz
z 2
1 nz 2
nz
z 2
1 nz 2
图1 电磁场耦合变化关系示意图
第13讲 FDTD基本原理
为简单起见，我们首先考虑1维情况下麦克斯韦 旋度方程以及其FDTD差分计算。由真空中的本构关 系可得到：
t D ( R , t ) 0 E ( R, t ) B ( R, t ) 0 H ( R, t ) t D ( R, t ) H ( R , t ) J e ( R, t ) B( R, t ) E ( R, t ) J m ( R, t )