第四章轴对称问题有限元法
第四章 轴对称问题有限元法
在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。这种问题就称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。
第一节 轴对称问题弹性力学基本方程
对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（,,r z θ）。如果将
y
弹性体的对称轴作为Z 轴，则所有应力、应变和位移分量都只是r 和Z 轴的函数，而与θ无关，即不随θ变化。弹性体内任意一点只有两个位移：即沿r 方向的径向位移u 和沿Z 方向的轴向位移w 。由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v 等于零。因此轴对称问题是二维问题。
在轴对称弹性体内用相距dr 的两个圆柱面和过轴线互
成d θ角的两个铅垂面切割出一个高为dz 的微元体，如图2所示。
(a)
σ(b)
沿r 方向作用的正应力r σ称为径向应力 沿θ方向作用的正应力θσ称为环向应力 沿z 方向作用的正应力z σ称为轴向应力 rz 面内的剪应力 zr τ=rz τ
故轴对称弹性体内任意一点的应力分量
{}[]T
r z rz θσσσστ=
对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量
{}[]
T
r z rz θεεεεγ=
其中
r ε ------ 沿r 方向径向线应变 θε ------ 沿θ方向环向线应变
z ε ------ 沿z 方向轴向线应变 rz γ------ rz 面内的剪应变
与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向应变θε。弹性体受载时，点（,,r z θ）产生径向位移u ，使过点（,,r z θ）的周长增加了2()2r u r ππ+-，因而产生相对伸长，即环向应变:
2()22r u r u r r
θππεπ+-==
轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为
,,,r z zr u u w w u
r r z r z
θεεεγ????====+????
写成矩阵形式
{}r z rz u r u r
w z u w z r θεεεεγ????
?????
???????????????????????
????
==??????+??
根据虎克定律，应力与应变的关系为
1
()r r z E
θεσμσσ????=-+ 1
()z r E
θθεσμσσ????=-+ 1
()z z r E
θεσμσσ????=-+ 12(1)rz rz rz r G E
μττ+==
由上式得
[]10111
011(1)(1)(12)10
111200
2(1)r z zr r z rz E θθσσσστμ
μ
μμ
εμ
μ
εμμμμ
μ
εμμμμγμμ??????=??
??????
?
?
??
--??
????????---??????+-????????--????-????-?
?
= （4-2） 这里弹性矩阵[D]为
[D]＝
10111
011(1)(1)(12)10111200
2(1)E μ
μμμ
μ
μ
μ
μμμ
μ
μμμμμμ?
?
??
??????
????
????
?????
?
-----+-----
第二节 三角形截面环单元
一、 结构离散化
离散化轴对称体时，采用的单元是一些圆环。这些圆环单元与rz 平面（子午面）正交的截面可以有不同的形状：3节点三角形、6节点三角形、4节点四边形和8节点四边形等等。单元的节点是圆周状的铰链，各单元rz 平面（子午面）内形成网格。在我们这里研究的是3节点三角形轴对称单元，这些圆环单元与rz 平面（子午面）正交的截面是三角形，如图3所示。
r
(u)
图4-3 轴对称结构
注：（1）对轴对称问题进行计算时，只需取出一个截面进行网格划分和分析，即在rz 平面（子午面）截面进行网格划分和分析。但是应注意到单元是圆环状的，所有节点载荷都
应为作用在单元节点所在的圆周上；同样，位移边界条件也是如此。
（2）轴对称体受非轴对称载荷时，成为三维问题。此时，采用将载荷沿θ方向展成富氏级数的半解析方法，把三维问题化为一组二维问题。 轴对称问题离散化例1
如图所示是一承受内压和外压的无限长厚壁圆筒，可取单位长度圆筒进行分析，有限元模型：
r
轴对称问题离散化例2
取四分之一模型研究，有限元模型（网格未划，只给出位移边界条件）：
r
二、位移模式
采用三节点三角形单元，单元节点位移列阵为： {}T
i i j j m m e
u w u w u w δ????= （4-3） 仿照平面三角形单元，取线性位移模式
123456u r z
w r z
αααααα=++=++ （4-4）
类似平面三角形单元的推导，将节点坐标
,,,,,i i j j m m r z r z r z 和节点位移,,,,,i i j j m m u w u w u w 代入位移
模式（4-3）中，可解得126,,...,ααα。再将这些系数代回式（4-4）中，得
i i j j m m i i j j m m
u N u N u N u w N w N w N w =++=++ （4-5）
其中形函数
1
()2i i i i N a b r c z =++?
（i,j,m 轮换） (4-6)
而
11
12
1i i j
j m m
r z r z r z ?=
m m i j j
m i j m i j
a r z r z
b z z
c r r ??
???
=-=-=- （i,j,m 轮换） (4-7) 三、单元应变
为了求单元应变，将式（4-5）代入轴对称问题的几何方 程，得
{}
00000010002i i j m i r i j m j e
i j m j z rz i i j
j m m m m u u r b b b w u
f f f u r
w c c c w z c b c b c b u u w w z r θεεεεγ????
??
??
????????
?
???????
????????
????????
??????
????????????????
??????
??
??===?????+?? （4-9）
式中
i i i i a c z
f b r r
=++
（i,j,m 轮换）