磁场中多解问题习题

解得 R1 =8.0/n ( cm ) (n = 2, 3, 4…) ⑥
x b
a
6.4 104 E V/m 2 n ( n 2 ,3 ,4 )
Ⅱ
⑦
题目
（2）若粒子能进入磁场区Ⅱ且最后能通过坐标原点 O ，则粒子的运动轨迹如图中所示， A1 和 A2 分别为粒子 在磁场区Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的圆心
v2 2 BqR 得 2 Bqv m v R m v 2 Bq 此种情况下,负电荷运动的角速度为 R m 应选A、C。
F
3. 临界状态不惟一形成多解 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒 子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多
种情况。
例3. 如图甲所示，A、B为一对平行板，板长为l，两板距 离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方 向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子以初 速v0，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。 求v0在什么范围内，粒子能从磁场内射出？
在ΔA1CD中，有
cosθ=DC/A1C =d/R1 ⑧ y P (x,y) 在ΔA1 A2F中，有 A2 FA1 x 2 R1 sin ⑨ E θ O A1 D x A1 A2 R2 R1 F d Ⅰ 解得,cosθ=0.6 R1 =5.0cm ⑩ θ a b C E=2.5 ×104 V/ m Ⅱ
7
8、 运动的重复性形成多解 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时， 运动往往具有重复性，因而形成多解。 例6. 如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E， 方向竖直向下。在 x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强 度为B，方向垂直纸面向里。在x轴上有一点 P，离原 点的距离为 a 。现有一带电量 +q 的粒子，质量为 m ， 从静止开始释放，要使粒子能经过 y P点，其初始坐标应满足什么条件？ P x （重力作用忽略不计） O
2所示，
由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为
x2 b r ( r a )
2
2
y P v0
2mv0a 2 a 解得 x2 b eB
⑦ 0
图2 Q
x
题目
11、两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直 线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0<x<a的区域有垂直 于纸面向里的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁 场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量 为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直 和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大 值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间 与在x>a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为 7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周 期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
当匀强电场的场强E=2.5 ×104 V/ m 或 6.4 104 E V/m 2 n (n = 2, 3, 4…)时，粒子能通过坐标原点O．
题目 第 2页
10．（16分）如图所示，现有一质量为m、电量为e
的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴 射出，为了使电子能够经过 x轴上的Q（b，0）点， 可在 y 轴右侧加一垂直于 xOy 平面向里、宽度为 L 的 匀强磁场，磁感应强度大小为 B ，该磁场左、右边
6、如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原 点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2 的比值应满足什么条件？
d＝2（r2－r1） nd＝2r1
n＝1，2，3，……
① O
y P x
设释放处距O的距离为y1，则有 ② ③
由①、②、③式有
B 2qa2 y1 2 ( n 1， 2… ) 8n mE
（2）若粒子在电场中的起点坐标为（x、y2）， 依题意，有 当x>a ，粒子不可能经过P点；
当x=a ，不论取值如何，粒子均能经过P点；
当x<a ，则 同理可得: O B q( a x ) y2 ( n 1， 2… ) 2 8n mE
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和 ，C在y轴上，有对称性可知 在x=2a直线上。
由此解得：
②
③ 由②③式和对称性可得
⑤
⑥
所以
⑦ 即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心 在x轴上。 设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角 可得
可得
⑧ 由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；
粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：
14 、如图 6­3­2 所示，在空间中有一坐标系 Oxy ，其第 一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线 OP 是 它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸 面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为 2B ，方向垂直纸面 向内，边界上的P点坐标为(4L,3L)．一质量为m电荷量 为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，经 过一段时间后，粒子恰好经过原点O(忽略粒子重力)， 已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.求： (1) 粒子从 P 点运动到 O 点的时间至 少为多少？ (2)粒子运动的周期? (3)粒子的速度大小可能是多少？
图632
【解析】(1)设粒子的入射速度为v，用R1，R2，T1，T2 分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨道半径和 周期．则 v2 2 m v2 qvB= m，qv2B= m T1= 2 R1= ，
A m +q B
Байду номын сангаас
v0 甲
l
d
4．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝ 2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向 发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历 的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）
B1 a O B2 b
5、如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1=2B2。一个带负电的粒子质量为m 带电量q，从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，该粒子经过多长时间后又经过 O点？
2 2
a x 2nR( n 1， 2… )
y
P x
题目
9、．(18分)如图示,在真空室内取坐标系Oxy,在x轴上 方存在匀强电场,场强方向沿负y方向, x轴下方存在两 个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场区Ⅰ和Ⅱ, 平行于 x轴的虚线ab是它们的分界线,虚线上方(包括虚线处)的 磁场区Ⅰ的磁感应强度B1＝0.20T, 虚线下方的磁场区 Ⅱ的磁感应强度B2＝0.10T,虚线与x轴相距d=4.0cm.在 第一象限内有一点P,其位置坐标x=16.0cm、y=10.0cm. 一带正电的粒子处于P点从静止释放,粒子的电荷量与 y P (x,y) 质量之比q/m=5.0×107 C/kg . 为使粒子能通过坐标原点O, 匀强电场的场强E必须满足 O E x 什么条件? 不计粒子的重力 d Ⅰ 作用． a b Ⅱ
解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：
①
速度小的粒子将在x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。
轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的 左边界。
解: 粒子从P点开始运动,进入磁场区Ⅰ时的速度为v， 由动能定理得 qEy=1/2mv2
的轨道半径，有
v2 qvB1 m R1 v2 qvB2 m R2 ② ③
①
用R1、R2分别表示粒子在磁场区Ⅰ和区Ⅱ中运动
（ 1 ）若粒子没能进入磁场区Ⅱ而最后能通过坐标原 点O，则粒子每次进入磁场区Ⅰ中运动都是转动半周 后后就离开磁场进入电场，重复运动直到通过坐标原 点O，粒子的一种运动轨迹如图所示，有 n ∙ 2R1 =x R1 ≤d ④ ⑤ O d y E Ⅰ P (x,y)
分析：要使粒子能经过 P 点，其初始位置必须在匀强 电场区域里。由于没有明确粒子所在位置，讨论如下： （1）若粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下沿y 轴从原点 O 进入磁场做半径为 R 的匀速圆周运动。由 于粒子可能偏转一个、二个……半圆到达P点，
故
a 2nR( n 1， 2… )
1 qEy1 mv 2 2 2 v Bqv m R
1. 带电粒子电性不确定形成多解
受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带 负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运 动轨迹不同，导致形成双解。
例 1. 如图所示，第一象限范围内有垂直于 xOy 平面 的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q 的带电粒子在 xOy 平面里经原点 O 射入磁场中，初速度 v0与x轴夹角θ= 600 ，试分析计算： y （1）带电粒子从何处离开磁场？穿越 磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？ O
v0
600
x
（1）若粒子带负电
x 3R
3mv0 Bq
y
若粒子带正电，
v0
O
600
mv0 y R Bq
2 m t1 T 360 3 Bq
若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
x
（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为
1
t2
2
360
T
m
3 Bq
2. 磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大 小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不 确定而形成多解。 例2. 一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀 速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作 用在负电荷的电场力恰好是磁场力的 3 倍，则负电荷 做圆周运动的角速度可能是（ ） AC
界与y轴平行,上、下足够宽（图中未画出）.已知，
L ＜ b 。试求磁场的左边界距坐标 y 原点的可能距离． v0 P （结果可用反三角函数表示）
mv0 2mv0 a eB eB
0
Q
x
解： 设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r, 则 2 v0 ① eBv0 m
mv0 解得 r ② eB ⑴当r>L时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示， L eBL 由几何关系有 sin ③ r mv0 则磁场左边界距坐标原点的距离为
12、在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量 为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒 中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒 壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？粒子在筒中运动多长时间？
设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），
4qB A. m 3qB B. m 2qB C. m qB D. m
分析：
依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”， 磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。
在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的 洛仑兹力的方向也是相反的。 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时, 根据牛顿第二定律可知 F f v2 4 BqR 4 Bqv m 得 v m R v 4 Bq 此种情况下,负电荷运动的角速度为 f R m 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，
r
x1 b L [ a r ( 1 cos )] cot ④
mv0 x1 b L [ a ( 1 cos )] cot eB eBL （其中 arcsin ） ⑤ 0 mv0
P
y v0 θ θ 图1 Q
x
②当r < L时，磁场区域及电子运动轨迹如图