数学建模(关于气象站的合理建设)论文

调整气象观测站问题

摘要

目前资源的优化配置和有效的利用资源是非常重要的，本文是针对某市气象观测站点的合理规划来进行数学模型的，根据已有的数据对该市气象观测站之间的相互关系和拟合程度进行了分析；借助EXCEL，MATLAB等软件进行数据的预处理，使得站点的选择问题得到了很好解决。

模型1：通过假设相关系数的下限值，确定哪些站点有可能在信息损失率低的前提下，能够相互之间得到气象信息。

模型2：从模型1的结论出发，对每种可能的方案，采用枚举法将各种情况列举了出来，然后将各种情况所得的均值与真实的均值进行比较，讨论其数据的相似程度以

及误差的波动状况。

关键词：优化气象观测站相关系数误差的绝对值方差

一、问题的提出

某市有10个县，每个县有一个气象观测站，每个气象观测站测得的年降水量即为该县的年降水量。30年来各观测站测得的年降水量如附件。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，通过建立数学模型使减少的观测站既可以节省开支，又可以使得该市年降水量的信息量损失较小。建立模型的过程中需要解决以下的几个问题:

1．有人认为第7个观测站和第8个观测站观测到的数据之间有相关关系，第7个观测站可以减少，第7个观测站的年降水量信息可以从第8个观测站观测到的数据中获取，试讨论之。

2．还有哪些观测站可以减少，减少的观测站的年降水量信息如何获取。

3．如果以10个县年降水量的平均值为该市年平均降水量。在减少观测站以前，每个县年降水量都是观测数据。在减少观测站以后，被减少的观测站的年降水量只能从其它观测站观测到的数据中获取。减少观测站以前和减少观测站以后是用两种不同测量计算方法得到该市年平均降水量。两种不同测量计算方法得到的该结果会有误差，试预测误差的绝对值小于10mm的概率是多少？误差的绝对值大于20mm的概率是多少？

二、模型假设

1、若ρij≥0.85则i县或者j县气象观测站可以作为二者共同的观测站。（其中ρij是i

县与j县的相关系数）

2、各县建气象观测站的花费是相同的，不随地理的不同而改变。

3、假设预测误差的绝对值满足正态分布，当m值比较大时服从中心极限定理。

三、符号说明

ρ

---------------表示i县与j县m年降雨量的相关系数

ij

()j i,

cov-------表示i县与j县m年降雨量的协方差

()()j

D,-------表示i县，j县m年降雨量的方差

i

D

ρ---------------表示各县之间m年内降雨量的相关系数矩阵

S S j

i

,--------表示选择气象站i 和气象站j 时该市年均降水量的标准差

P

--------------表示概率

N N j

i

,---------表示出现小于θ值的次数

注：其余的符号在文中有解释

四、数学模型

1、减少气象观测站的判断模型 设该市有n 个县，间有n 个气象观测站，已经获得了m 年内n 个气象观测站的年降水量。根据假设条件1，可知相关系数ρij ≥0.85则i 县或j 县气象观测站可作为二者的共同的气象观测站。 ()()()

j D i D j i ij

,cov =

ρ

由公式易知ρ

ρji

ij =

根据排列与组合关系可得到C n N 2

=种相关系数由这些系数得到的相关系数矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙

∙∙∙∙∙∙∙

∙∙∙

∙

∙

∙∙∙∙∙=11

12

1

221

112

ρ

ρρ

ρρ

ρ

ρn n n n

在矩阵ρ矩阵中若ρij ≥0.85则认为i 县或j 县气象观测站可作为二者的共同的气象观测站。

2、优化气象观测站模型

2.1 上述1模型可获得哪些县之间可以互相预测年降水量，为了简化模型，我们假设1模型中只有ρij ≥0.85，那么究竟是取i 县还是j 县作为共同的预测站，就是该模型要解决的问题。 （1）根据ρ来判断

设减少气象观测站之前该市m 年的年平均降水量为X （它是一个m ﹡1维的矩阵），减少气象观测站i 后该市m 年的年平均降水量为Xi （与X 一样），减少气象观测站j 后该市m 年的年平均降水量为Xj （与X 一样）。 由公式

()()()

j D i D j i ij

,cov =

ρ

可计算出ρi 和ρj ，若ρ

ρj

i >,则认为气象观测站i 是合理的，反之，则认为认为

气象观测站j 是合理的。

（2）根据方差2S 的大小来判断

设减少气象观测站之前该市第k 年的年平均降水量为Xk, 减少气象观测站i 后该市第k 年的年平均降水量Xik ，减少气象观测站j 后该市第k 年的年平均降水量Xjk.

由公式

()

1

1

2

2--

=

∑=n m

k k

ik

i

x x

S

()

1

1

2

2--

=

∑=n m

k k

jk

j

x x

S

可计算出Si ，Sj ，若Si> Sj ，则认为气象观测站i 是合理的，反之，则认为认为气象观测站j 是合理的。

2.2根据假设3来判断预测误差的绝对值在某种范围的概率。

（1） 若选择气象观测站i ，令X1k （它是一个m ﹡1维的矩阵）是减少气象观测站之后与减少气象观测站之前，第k 年误差的绝对值。易知

x

x

x

k

ik

k

-

=

1

由公式 m

m

k k

ik

k x

x

x ∑=-

=

1

1

()

1

1

2

1--

-

=

∑=m m

k k

ik

k

i

x x

x

S

由上述的两式可得预测误差的绝对值小于θ的概率为：

p s x i k =⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-Φ1θ 当m 较大时，可以通过中心极限定理来预测误差的绝对值小于θ的概率：

m P n

i

/=

（2） 若选择气象观测站j ，令X2k （它是一个m ﹡1维的矩阵）是减少气象观测站之后与减少气象观测站之前，第k 年误差的绝对值。易知

x

x

x

k

jk

k

-

=

2

由公式

m

m

k k

jk

k

x

x

x

∑=-

=

1

2

()

1

1

2

2--

-

=

∑=m m

k k

jk

k

j

x

x

x

S