期权定价模型

▪ 例6.3
➢ 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
25 2020/6/2
6.2 B-S期权定价模型
▪ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
▪ 模型基本假设9个
➢ 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 ➢ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
s 其中，w代表维纳过程
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B-S模型证明思路
ITO过程 dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
ITO引理
df
(f t
f a 1 x 2
2 f x2
b2 )dt
f b dw x
B-S微分方程
抖f 抖t
+
f rs＋ 1 ? 2 f s 2s2 = rf s 2 ?s2
B-S买权定价公式 C St N (d1) Ker N (d2 )
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6.2.1 B-S微分方程
假设标的资产价格变动过程满足
ds sdt sdw
▪ 这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证 券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由ITO引理近 似为
df
(f t
(6.9)
df f dt f dx 1 f dx2
t x 2 x2
f dt f (adt bdw) 1 2 f b2dt
t x
2 x2
(f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
■
20 2020/6/2
六、几何布朗运动与对数正态分布
若股票价格服从几何布朗运动
2g , St2
1 St2
, g t
0
这样由伊藤引理得到 (a St ,b St )
dg
(g t
g St
St
1 2
2g St2
(
St
)2
)dt
g St
St
dw
( 1 )dt dw 2
df
(f t
f x
a
1 2
2 f x2
b2 )dt f b dw x
2
dSt Stdt Stdwt
付； ➢ 期权为欧式期权 ➢ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
26 2020/6/2
➢ 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
➢ 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
➢ 不存在无风险套利机会 ➢ 允许卖空标的证券 ➢ 标的资产为证券，其价格S的变化为几何布朗
运动
ds dt dw ds sdt sdw
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1 2020/6/2
6.1 证券价格的变化过程
▪ 期权定价采用相对定价法
➢ 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
▪ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
wT i t t i
i 1
i 1
N
N
E(wT ) t E( i ) t E(i ) 0
i 1
i 1
N
D(wT ) t D( i ) t N T ,[Q D(i ) 1], 证毕. i 1
9 2020/6/2
▪ 在连续时间下Δt →0，由（6.1）和（6.2）得到
dwt t dt
（6.10）
且当t 0时，有t2 0,从而
lim D(x2 ) [b2t]2 D( 2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a(x,t)t b(x,t)w
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由（6.10）可得
x2 b2 2t
(6.10)
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （6.11）
dSt Stdt Stdwt
设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对 数正态分布，即
ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
T t,t [0,T ]
lnST的标准差与T-t 的平方根成比例
21 ln St 则
g St
1 St
由于 : N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（6.11）得到
E(x2 ) b2t
（6.12）
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由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 x2 b2t
当Δt→0时，由（6.9）可得
2
f
f t
t
f x
x
1 2
2 f x2
x2
➢ 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。
➢ 如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有 “无后效性”，其未来价格的概率分布只取决 于该证券现在的价格。也就是，通过历史数据 不能预测未来
➢ B-S模型假设标的资产的价格服从几何布朗运 动，它是一种特殊的马尔可夫过程。
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这里，wt wt wt1,t : iid N (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（6.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
有效市场
7 2020/6/2
▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为标准 布朗运动，其性质有
二、布朗运动
▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，该特性可以采用维纳过程 （布朗运动），它是马尔科夫过程的一种。
（一）、标准布朗运动 ▪ 对于随机变量w是标准布朗运动，必须具
有两个条件：
1. 在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段 Δt满足
6 2020/6/2
wt t t
（6.1）
▪ 先引入两个概念：
➢ 漂移率（Drift Rate）是指，单位时间内变量z均值 的变化值。
➢ 方差率（Variance Rate）是指，单位时间的方差。
▪ 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 ▪ 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为
b2，就可得到变量xt的普通布朗运动：
dxt adt bdwt （6.4）
证券收益率单位 时间的标准差，
简称波动率
r(t)
dst st
dt dwt
证券的预期回报与其价格无关。
（6.6）
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五、伊藤引理
▪ 伊藤引理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表 示为（省略下标t）
dx a(x,t)dt b(x,t)dw （6.7）
▪ 令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以 标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的变动过程可以表 示为
f s
s
1 2
2 f s2
2s2 )dt f s dw
s
S St Sw
f
(f t
f s
s
1 2
2 f s2
2s2 )t f s w
s
➢ 考虑组合：δ份的标的资产多头+1个单位的衍生证券空 头
➢ 由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性 （△w）影响，若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏 损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因 此在短时间内该投资组合是无风险的。且δ满足
t
f x 1 x 2
2 f x2
x2
（6.9）
f
(f t
t f x 1 x 2
2 f x2
x2 ) 2 f xt
xt
1 2
2 f t 2
t 2
(6.8)
x a(x,t)t b(x,t)w
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x2 [at b t ]2
3
a2t2 b2 2t 2abt 2
b2 2t
均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立 的。
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▪ 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 ▪ 弱式效率市场假说认为，
➢ 证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来 变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超 过平均收益率的收益。
▪ 半强式效率市场假说认为， ➢ 证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息 调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已 公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的 证券。
即
d
(ln
St
)
(
1 2
2
)dt
dw
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对两端积分： T t d (ln St )
T
(
1
d (ln St
2 )dt
)
(
1
2
dw
2 )dt
dw
t
2
ln ST
ln St
(
1 2 )
2
(wT
wt )
由（7.1） wT wt
ln ST
ln St
(
1 2 )
2
▪ 强式效率市场假说认为， ➢ 不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”） 对挑选证券都没有用处。
▪ 发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
4 2020/6/2
▪ 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。
df
(f t
f x
a
1 2
2 f x2
b2 )dt f b dw x
f f (x,t), a a(x,t),b b(x,t)
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证明：将（6.7）离散化
x a(x,t)t b(x,t)w 由（7.1）知 w t
利用泰勒展开，忽略高阶项， f(x,t)可以展开为
▪ 其中，a和b均为常数，dw遵循标准布朗运动。
11 2020/6/2
▪ 从式（6.1）和（6.4）可知，在短时间 后t ， x值的变化值为：
xt at b t
▪ 因此，Δxt也具有正态分布特征，其均值 为at，标准差为 b t ，方差为 b2t。同样， 在任意时间长度T后x值的变化也具有正态 分布特征，其均值为aT，标准差为 b T ， 方差为b2T。
12 2020/6/2
三、伊藤过程
▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。
➢ 漂移率和方差率为常数不恰当
dxt adt bdwt
▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
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四、证券价格的变化过程
▪ B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特 例－几何布朗运动来代表股价的波动
证券在单位时间内 以连续复利表示的 期望收益率（又称
预期收益率）
st xt , a(st ,t) st , b(st , t) st
dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
cov(dwt , dws ) 0
（6.3） （6.4）
▪ 所以，dwt 概率分布的性质
dwt ~ N(0, dt)
wt t t
(6.1)
cov(wt , ws ) 0 (6.2)
E(dwt ) 0, D(dwt ) dt
以上得到的随机过程wt，称为维纳过程。 10 2020/6/2
（二）普通布朗运动
ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
23 2020/6/2
由于 ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
则称ST服从对数正态分布，其期望值为
E(ST ) St exp( )
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▪ 例6.2
➢ 设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为 每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵 循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红 利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分 布。
f (f t f x 1 2 f x2 ) 2 f xt
t x 2 x2
xt
1 2
2 t
f
2
t2
（6.8）
16 2020/6/2
3
在连续时间下，即 Dt ? 0 从而 Dt2 ? 0 Dt 2 ? 0
lim
xt
lim
at 2
bt
3 2
0
t 0
t 0
因此，（6.8）可以改写为
f
f t
2 2020/6/2
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
▪ 弱式效率市场假说与马尔可夫过程
➢ 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市 场假说,该假说认为:
投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，
证券价格能完全反应全部信息； 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个
E(wt ) 0, D(wt ) t
▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量ΔwT的满足
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
8 2020/6/2
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
N
N