线性规划和对偶问题

可利用资源
2
8 台时
0
16kg
4
12kg
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
？元
设x1、x2 分别表示计划期内ⅠⅡ两种产品的产量，建立数学模型：
利润最大 目标函数 max z = 2x1+ 3x2
x1 2 x2 8
4 x1
16

4 x2 12
x1, x2 0
线性规划的标准形式
线性规划标准形式的条件： （1）目标函数约定是极大化Max （2）约束条件均用等式表示 （3）决策变量限于非负值 （4）右端常数均为非负值
Q4
Q3
3
•Q2(4,2) 4x2=12
Q1
0
4
x1
2x1+3x2=0
线性规划解的概念
n
MaxZ c j x j j 1

s.t.

n
aij x j
j 1
bi

x
j

0
MaxZ CX
i 1, 2, , m AX b
j 1, 2, , n
s.t.

X

将下述线性规划问题化为标准型
min z = –x1 +2x2 –3x3
x1 x2 x3 7
s.t.

x1 – x2 –3x1
x3 2 x2 2x3

5
x1，x2 0，x3为无符号约束
解：
Max Z’ x1 2x2 3(x3 x3) 0x4 0x5

x1

x2

( x3

x3 )

x4
7
s.t.

x1
– x2

( x3

x3 )
x5 2
–3x1 x2 2(x3 x3)
5

x1，x2 , x3, x3, x4 , x5 0
线性规划的图解法
图解法：就是用几何作图的方法分析并求出其最优解的过程。 求解思路：先将约束条件加以约束，求得满足约束条件的解的集合（可行域）， 然后结合目标函数的要求从可行域中找出最优解。
4.向着目标函数的优化方向平移等值线，直至得到等值线与可行域的最 后交点，这种点就对应最优解。
MaxZ 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.
4
x1

4 x2
16 12
x1, x2 0
x1 4, x2 2 Z 14
x2 4x1=16
x1+2x2=8
MaxZ c1x1 c2 x2 cm xm cm1xm1 cn xn
性表达式的目标函数取得极大值或极小值的最优化问题成为线性规划问题， 简称线性规划。
共同特征： （1）用一组未知变量表示要求的方案，即决策变量（非负条件） （2）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式
来表示。
（3）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目 标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
只有两个决策变量的问题可用图解法。图解法有助于理解线性规划问题 的求解原理。 例8：用图解法求解线性规划问题的最优解
Max 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.
4
x1

4 x2
16 12
x1, x2 0
解法：
1.建立平面直角坐标系；
2.找出表示每个约束的半平面，所有半平面的交集是可行域（全体可 行解的集合）； 3.画出目标函数的等值线 ；
例2．生产计划问题
某工厂计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产
单位产品所需的设备台时和A、B两种原材料的消耗、以及可
获利润如表所示，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
Ⅰ
设备
1
原材料 A
4
原材料 B
0
利润
2
Ⅱ
可利用资源
2
8 台时
0
16kg
4
12kg
3
？元
Ⅰ
设备
1
原材料 A
4
原材料 B
0
利润
2
Ⅱ
4 x1
16

4x2 12
x1, x2 0
标准型
Max 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4
x1

4 x2
x4 16 x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
所加松弛变量x3，x4，x5表示没有被利用的资源，当然也没有利润，在目 标函数中其系数应为零；即c3 ，c4 ，c5 = 0。
将一般形式标准化
①．将目标函数最小化变为求目标函数最大化
min z = CX max z’= -CX，其中 z’ =- z ；
②．将不等式约束变为等式约束
n
n
aij x j bi aij x j xmi bi xmi 0 ( 松弛变量 )
j1
j1
n
n
aij x j bi aij x j xmi bi xmi 0（剩余变量 ）
j1
j1
③．将负约束、无符号约束变量变为非负约束变量
xj 0 xj =- xj ’， xj ’ 0 xj 为无符号约束变量 xj = xj ’- xj ’’, xj ’ 0, xj ’’ 0
将例2的数学模型标准化
Max 2x1 3x2
x1 2x2 8



p1
p2
pm pm1
pn

am1
am2
amm amm1
amn

① 基 A中的m × m 阶非奇异子矩阵B ；（意味着A的秩为m，
|B | ≠ 0，B 的各列线性无关）
② 基向量 B中的列向量；
用B表示
③ 非基向量 基向量之外的向量；
用N表示
④ 基变量 B中的列向量对应的变量； 用XB表示 ⑤ 非基变量 非B中的列向量对应的变量； 用XN表示
0
(1.1)
(1.2) (1.3)
2.2.1 线性规划的各种解 （1）可行解：满足约束条件(1.2)、(1.3)的解
X=( x1，x2，···，xn)T
（2）最优解：使目标函数（1.1）达到最优值的可行解
a11 a12
a1m a1m1
a1n
A


a21
a22

a2m a2m1
a2n
线性规划
1、线性规划模型及标准型
如何写出线性规划模型 一般形式转化为标准型
2、线性规划的图解法
如何用图解法求解线性规划问题
3、线性规划解的有关概念
基变量 非基变量 基本解 基本可行解 最优解
4、单纯形法
最大判别原则 最小比值原则 换入换出变量 高斯消元法 最优解的 判断等
线性规划的定义和数学描述 1.定义 对于求取一组变量xj (j=1,2,…,n),使之满足线性约束条件，又使具有线