2.3等差数列的前n项和

水寨中学高一数学自主探究学案

内容：等差数列的前n 项和 课时：1 模块：必修5 编号：2.3 一、学习目标

1、掌握等差数列前n 项和公式的推导方法和公式的简单运用。

2、通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养思维的灵活性，提高分析问题和解决问题的能力。 二、自主学习

1. 等差数列的前n 项和：

公式1： ；公式2： 。 2．若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为 .

3．若已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n 可用S n 表示:

4. 等差数列(0≠d )的前n 项和公式是一个没有常数项的n 的 函数，即：

2n S An Bn =+

5.利用n a 与前n 项和n s 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)

2()

1(11n s s n s a n n n

6. 证明数列是等差数列的常用方法：

1.定义法 1()n n a a d +-=常数

2.中项法 112(2)n n n a a a n -++=≥

3.通项法 b kn a n +=(k n ,为常数). 4．前n 项公式2

n S An Bn =+

7. 等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ……(k ∈N *)成 ，公差为k 2d .

8.在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在 . 若a 1＜0,d ＞0，则S n 存在_________________. 9. 等差数列的前n 项的最值问题有两种方法:

(1)利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，

d>0，前n 项和有最小值可由 n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值

(2)利用n S ：由n )2

d

a (n 2d S 12n -+=

二次函数配方法求得最值时n 的值 10. 等差数列奇数项偶数项问题： （１）当项数为n 2项时：n

n a a s s nd s s 1

,

+=

=-奇

偶奇偶 （2）当项数为12+n 项时：n

n s s a a s s n 1

,

1+=

==-+偶奇中偶奇 11、等差数列的前n 项和的比值问题：若等差数列{}

{}n n b a 、的前n 项和分别为n n S T 、，则：b

a S

T

m

m

m m =

--1

212

12、等差数列{}n a 各项取绝对值后组成的数列{||}n a 前n 项和n T ：

（1）先正后负：()()

2n n k n S n k T S S n k ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，n S 为{}n a 的前n 项和，k 为0k a ≥的最大自然数. （2）先负后正：()()

2n n

n k S n k T S S n k ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，n S 为{}n a 的前n 项和，k 为0k a ≤的最大自然数.

三、交流展示

1、一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ) A.它的首项是－2，公差是3 B.它的首项是2，公差是－3 C.它的首项是－3，公差是2 D.它的首项是3，公差是－2

2、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）

A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

3、等差数列{}n a 中，若2

32n S n n =+，则公差d = .

4、等差数列{a n }中，a 1=－4，a 8=－18，n ＝8，求公差d 及前n 项和S n 。

5、等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10=30,a 20=50。（1）求通项；（2）若S n ＝242，求n .

6、（1）如果数列{a n }的前n 项和为2

34n S n n =-+，则_______n a =。 （2）若数列{a n }的前n 项和为2

241n S n n =++，则_______n a =。

7、已知数列{}n a 的前n 项为21

2

n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？

如果是，它的首项与公差分别是什么？如果不是请说明理由。S n ＝2n 2－n ＋1呢？ 8、函数f(x)=

2

1

2

+x

，则f(-5)+f(-4) +……+f(0) +……+f(5) +f(6)的值为________.

9、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）

A.有最小值且是整数

B. 有最小值且是分数

C. 有最大值且是整数

D. 有最大值且是分数

10、已知等差数列{a n }的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n 项和S n 。 11、（1）已知等差数列{a n }的a n =24－3n ，则前多少项和最大？ （2）已知等差数列{a n }的b n =2n-17，则前多少项和最小？ 12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ， S 10＝70，S 20＝60，求S 30。 13、（1）数列{a n }等差数列，a 1=50,d=－0.6.(1)从第几项开始有a n ＜0;（2）求此数列前n 项

和的最大值。

变式1、等差数列{a n }中，a n =－15，公差d=3，求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值 变式2、（1）数列{a n }是首项a １为正数的等差数列，又S 9= S 17.问数列的前几项和最大？（2）等差数列{a n }，3 a 5＝8 a 12，a 1<0，设前n 项和为S n ，求S n 取最小值时n 的值。

14、等差数列共有n 2项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30.若最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数。

变式、某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30.则公差d 为多少？