8_4_定积分在经济问题中的应用举例
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从 t =0 开始, P(t)dt 这一金额是在 t 年后的
将来获得的,因此在[t ,t + dt]内，
收益现值 [P(t)dt]ert P(t)ertdt
总现值 T P(t)ert dt 0
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息）
本函数 C(x) 0.04x 2 (元/ 单位)，求总成本函数C(x).
如果商品的单价为18元，且产品供不应求，求总利润
函数L(x)，并决策每天生产多少单位可获得最大利润.
解 (1) C(x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(0.04t 2)dt
0
0
200 0.02x2 2x
R
60 40
(20
Q )dQ 10
20Q
Q2 20
60 40
300
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二 、收益流的现值和将来值
若以连续复利 r 计息，一笔 P 元人民币从现 在存入银行，t 年后的价值（将来值）
B Pert
若 t 年后要得到 B 元人民币，则现在需要存 入银行多少金额（现值）
收益现值 [P(t)dt]ert P(t)ertdt
总现值 T P(t)ert dt 0 计算将来值时，P(t)dt 在 T-t 年获得利息,
从而在 [t ,t + dt] 内,
收益流的将来值 [P(t)dt]er(T t) P(t)er(T t)dt
总的将来值 T P(t)er(T t)dt erT 总现值 0
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例 假设以年连续复利率 0.1 计息 ,求收益流量为
100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.
解 现值 T P(t)ertdt 20100e0.1tdt
0
0
1000(1 e2 )
864.66(元)
将来值 T P(t)er(T t)dt 20100e0.1(20t)dt
0
10 200e0.05t dt 1000 0
[
200 0.05
e0.05t
]100
1000
4000(1 e0.5 ) 1000
573.88(万元)
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例 某企业一项为期10年的投资需购置成本80万
元，每年的收益流量为10万元，求内部利率 （注
：内部利率是使收益价值等于成本的利率）.
(2) L(x) R(x) C(x) 18x (200 0.02x2 2x)
由 L(x) 0.04x 16 0 得 x 400
又 L(x) 0.04 0, 故 L(400) 3000 为极大值， 从而为最大利润。
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例 设某产品生产Q 个单位，边际收益 R 为
边际函数 u′(x), 求出总量函数 u(x) 或u(x) 在区间
[ a, b] 上的改变量 u(b) u(a) u(x) b
b
u( x)dx.
a
a
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(1)若已知某产品总产量Q 的变化率为dQ f (t),则从时 dt
间 t a 到 t b (a b)该产品的总产量 Q
R 20 Q (Q 0). 10
(1)求生产40个单位产品时的总收益,平均收益.
(2)求从生产40个单位产品到60个单位产品时的总收益.
解
(1) R
40
Q
(20 )dQ
0
10
20Q
Q2 20
40
0
720
40
Q
R 0
(20 )dQ / 40 10
720/ 40 18
(2)
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一、由边际函数求总量函数
设经济应用函数 u(x) 的边际函数为 u(x), 则有
x
u( x)dx
u(x)
x
u(x)
u(0)
0
0
x
所以， u(x) 0 u(t) dt u(0)
经济应用函数 u(x) 常为需求函数、生产函数、
成本函数、收益函数等. 在经济管理中，可以利用
0
0
1000e2 (1 e2 )
6389.06(元)
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例 设有一项计划现在需要投入1000万元，在10年
中每年收益为200万元，若连续利率为5%，求资本
价值W（设购置的设备10年后完全失去价值）.
Leabharlann Baidu
解 资本价值=收益流的现值-投入资金的现值
W
T P(t)ert dt 1000
P Bert
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收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流.
收益流量 收益流对时间的变化率.记为P(t).
收益流的将来值 将收益流存入银行并加上利 息之后的存款值.
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益， 与包括利息在内的银行存款值有相同的价值.
b
f (t)dt.
a
(2)设某产品总产量Q,若已知该产品成本对产量的变化
率为f (Q),则产量从 a 到 b 总成本为C
b
f (Q)dQ.
a
(3)若某商品收益的变化率 f (Q) 为已知时,则销售N个单
位的商品的总收益为R
N
f (Q)dQ.
0
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例. 设生产某种商品每天的固定成本为200元，边际成
第四节
第八章
定积分在经济问题中的应用举例
一、由边际函数求总量函数 二 、收益流的现值和将来值
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定积分在经济生活中的应用研究性课题，是适应 社会主义市场经济形势的要求，数学介入经济学使得 经济理论更加清晰、严密与完整，使经济学成为社会 科学中最“科学”的学科。从1969年至1990年共有 2位7经济学家获得诺贝尔经济奖，其中有14位是因为提 出数学方法应用于经济分析中才获此殊荣，其他人也 部分地应用了数学，纯作文字分析的几乎没有。
解
80 1010et dt 0
[
10
e
t
]100
10（1 e10）
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息） 分析 在区间 [0,T]内任取一小区间 [t ,t + dt],
在[t ,t + dt]内所获得的金额近似为 P(t)dt ，
将来获得的,因此在[t ,t + dt]内，
收益现值 [P(t)dt]ert P(t)ertdt
总现值 T P(t)ert dt 0
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息）
本函数 C(x) 0.04x 2 (元/ 单位)，求总成本函数C(x).
如果商品的单价为18元，且产品供不应求，求总利润
函数L(x)，并决策每天生产多少单位可获得最大利润.
解 (1) C(x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(0.04t 2)dt
0
0
200 0.02x2 2x
R
60 40
(20
Q )dQ 10
20Q
Q2 20
60 40
300
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二 、收益流的现值和将来值
若以连续复利 r 计息，一笔 P 元人民币从现 在存入银行，t 年后的价值（将来值）
B Pert
若 t 年后要得到 B 元人民币，则现在需要存 入银行多少金额（现值）
收益现值 [P(t)dt]ert P(t)ertdt
总现值 T P(t)ert dt 0 计算将来值时，P(t)dt 在 T-t 年获得利息,
从而在 [t ,t + dt] 内,
收益流的将来值 [P(t)dt]er(T t) P(t)er(T t)dt
总的将来值 T P(t)er(T t)dt erT 总现值 0
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例 假设以年连续复利率 0.1 计息 ,求收益流量为
100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.
解 现值 T P(t)ertdt 20100e0.1tdt
0
0
1000(1 e2 )
864.66(元)
将来值 T P(t)er(T t)dt 20100e0.1(20t)dt
0
10 200e0.05t dt 1000 0
[
200 0.05
e0.05t
]100
1000
4000(1 e0.5 ) 1000
573.88(万元)
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例 某企业一项为期10年的投资需购置成本80万
元，每年的收益流量为10万元，求内部利率 （注
：内部利率是使收益价值等于成本的利率）.
(2) L(x) R(x) C(x) 18x (200 0.02x2 2x)
由 L(x) 0.04x 16 0 得 x 400
又 L(x) 0.04 0, 故 L(400) 3000 为极大值， 从而为最大利润。
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例 设某产品生产Q 个单位，边际收益 R 为
边际函数 u′(x), 求出总量函数 u(x) 或u(x) 在区间
[ a, b] 上的改变量 u(b) u(a) u(x) b
b
u( x)dx.
a
a
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(1)若已知某产品总产量Q 的变化率为dQ f (t),则从时 dt
间 t a 到 t b (a b)该产品的总产量 Q
R 20 Q (Q 0). 10
(1)求生产40个单位产品时的总收益,平均收益.
(2)求从生产40个单位产品到60个单位产品时的总收益.
解
(1) R
40
Q
(20 )dQ
0
10
20Q
Q2 20
40
0
720
40
Q
R 0
(20 )dQ / 40 10
720/ 40 18
(2)
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一、由边际函数求总量函数
设经济应用函数 u(x) 的边际函数为 u(x), 则有
x
u( x)dx
u(x)
x
u(x)
u(0)
0
0
x
所以， u(x) 0 u(t) dt u(0)
经济应用函数 u(x) 常为需求函数、生产函数、
成本函数、收益函数等. 在经济管理中，可以利用
0
0
1000e2 (1 e2 )
6389.06(元)
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例 设有一项计划现在需要投入1000万元，在10年
中每年收益为200万元，若连续利率为5%，求资本
价值W（设购置的设备10年后完全失去价值）.
Leabharlann Baidu
解 资本价值=收益流的现值-投入资金的现值
W
T P(t)ert dt 1000
P Bert
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收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流.
收益流量 收益流对时间的变化率.记为P(t).
收益流的将来值 将收益流存入银行并加上利 息之后的存款值.
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益， 与包括利息在内的银行存款值有相同的价值.
b
f (t)dt.
a
(2)设某产品总产量Q,若已知该产品成本对产量的变化
率为f (Q),则产量从 a 到 b 总成本为C
b
f (Q)dQ.
a
(3)若某商品收益的变化率 f (Q) 为已知时,则销售N个单
位的商品的总收益为R
N
f (Q)dQ.
0
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例. 设生产某种商品每天的固定成本为200元，边际成
第四节
第八章
定积分在经济问题中的应用举例
一、由边际函数求总量函数 二 、收益流的现值和将来值
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定积分在经济生活中的应用研究性课题，是适应 社会主义市场经济形势的要求，数学介入经济学使得 经济理论更加清晰、严密与完整，使经济学成为社会 科学中最“科学”的学科。从1969年至1990年共有 2位7经济学家获得诺贝尔经济奖，其中有14位是因为提 出数学方法应用于经济分析中才获此殊荣，其他人也 部分地应用了数学，纯作文字分析的几乎没有。
解
80 1010et dt 0
[
10
e
t
]100
10（1 e10）
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息） 分析 在区间 [0,T]内任取一小区间 [t ,t + dt],
在[t ,t + dt]内所获得的金额近似为 P(t)dt ，