图论：最小树、最短路、最大流问题
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年号 价格 汽车使用年龄 维修费用 1 2 0–1 0.7 2 2.1 1–2 1.1 3 2.3 2–3 1.5 4 2.4 3–4 2 5 2.6 4–5 2.5
试用网络分析中求最短路的方法确定公司可采用 的最优策略。
方法：以年号作顶点绘图，连线表示连续使用期间，以
2017/10/16
费用作路长。
1 1
3. 考虑所有这样的边 [v ,v ], 其中v V 1 ,v V 1 , 挑选 其中权最小的；
4. 重复3，直至全部顶点属于 V 1 (即V 1 )。
2017/10/16
用避圈法解例2
v2
2
v1• 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
最小部分树如图上红线所示； 最小权和为14。
v4
给每点vj标号[dj，vi]，其中dj为v1至vj的最短距，vi为 最短路上的前一点。
2017/10/16
标号法步骤：
1. 给v 标号[0，v ];
1 1
V :已标号点集， 2. 把顶点集V 分为互补的两部分 V : 未标号点集； 3. 考虑所有这样的边[v ,v ], 其中v V ,v V ,
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2 2 v1 3 5 1 v4 5 v3 2 7 5 3 v5 v6 1 7 5 v7
2017/10/16
避圈法是一种选边的过程，其步骤如下：
1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的 权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj； 2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V1 ，其中 V， 与已选边相关联的点集， V， 不与已选边相关联的点集；
三. 最大流问题
1. 问题 已知网络D=（V，A，C），其中V为顶点 集，A为弧集，C={cij}为容量集， cij 为弧（vi，vj ） 上的容量。现D上要通过一个流f={fij}，其中fij 为弧
（vi，vj ）上的流量。问应如何安排流量fij可使D上
通过的总流量v最大？
v2 4 1 5
2017/10/16
2017/10/16
3. 基本概念与定理
f c 饱和弧： (1) 弧按流量分为未饱和弧：f c 零流弧：f 0
如：在前面例举的网络流问题中，若已给定一个可行流 （如括号中后一个数字所示），请指出相应的弧的类型。
v2 （4，3） v4
2017/10/16
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
8
9 7wenku.baidu.com6
5
9
E 2 D 3 F
3
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4
二. 最短路问题
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字 为两点间距离。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3
v6 1 7
5
v7
v5 5 2. 方法：标号法（Dijkstra，1959）
1 1
挑选其中与v 距最短（mind c )的v 进行标号。
1
1
1
4. 重复3，直至终点（本例即v ）标上号[d ,v ]，则
7 7
d 即最短距，反向追踪可求出最短路。
7
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用标号法解例3
[2，v1] v2 [0，v1] v1 2 5 3
其中2=min{0+2,0+5,0+3}
思考：破圈法是怎样做的呢？ ——见圈就破，去掉其中权最大的。
2017/10/16
最小部分树问题的应用例子
已知有A、B、C、D、E、F六个城镇间的道路网络 如图，现要在六个城镇间架设通讯网络（均沿道路架 设），每段道路上的架设费用如图。求能保证各城镇均
能通话且总架设费用最少的架设方案。
C
5
A 10 8 B
7 v3 5 [4，v2] 1 3 2 5
[8，v5] v6 1 7
5
[13，v6] v7
v4 [3，v1]
v5 [7，v3]
其中3=min{0+3，0+5，2+2，2+7}
最短距为13；
最短路为v1-v2-v3-v5-v6-v7。
2017/10/16
最短路问题的应用例子
某汽车公司正在制订 5 年内购买汽车的计划。 下面给出一辆新汽车的价格以及一辆汽车的使用 维修费用(万元)：
v4
例如：
vs
3
2
5
1 3 2 vt
v1
v3
2. 数学模型
问题：最大流问题的决策变量、目标函数、约束条件各是什么？
决策变量： 各弧（v ,v ）上的流量f ,
目标函数： Maxv v ( f )
（容量约束） 0 f c v ( f ), i s 约束条件： i s , t （平衡条件） f f 0, v ( f ), i t
2017/10/16
（3） 截集与截量
v ,v ） 使v V ,v V 。称弧集 （ v V ,v V
1 1 1
截集（割集）：将V 分为二非空互补集V 与V ，
1 1 1
为D的一个截集，记为（V ,V ）。
1 1
截量：截集上的容量和，记为 C（V ，V ） 。 例4 对于下图，若V1={vs，v1}，请指出相应的截 集与截量。 v v
第二节 网络分析
网络——赋权图，记D=（V，E，C），其中C={c1，…，cn}， ci为边ei上的权（设ci 0 ）。
网络分析主要内容——最小部分树、最短路、最大流。
2017/10/16
一. 最小部分（支撑）树问题
问题：求网络D的部分树，使其权和最小。
方法：避圈法（Kruskal,1956）、破圈法(管梅谷，1975)。
2
（4，3）
4
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（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
（3，3）
例4 对于下图，若V1={vs，v1}，请指出相应的截 集与截量。 v v
（3，3）
（2）可增值链（增广链）
：中的正向弧集 D中由v 至v 的链，记 ， ：中的反向弧集 中弧皆未饱 若 ，则称为D中关于可行流f 的 中弧皆非零 一条可增值链。
v2 （3，3）
（4，3）
v4
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
试用网络分析中求最短路的方法确定公司可采用 的最优策略。
方法：以年号作顶点绘图，连线表示连续使用期间，以
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费用作路长。
1 1
3. 考虑所有这样的边 [v ,v ], 其中v V 1 ,v V 1 , 挑选 其中权最小的；
4. 重复3，直至全部顶点属于 V 1 (即V 1 )。
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用避圈法解例2
v2
2
v1• 3 5 1
v3
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7 5 3 5 v5
v6 1 7
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v7
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最小部分树如图上红线所示； 最小权和为14。
v4
给每点vj标号[dj，vi]，其中dj为v1至vj的最短距，vi为 最短路上的前一点。
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标号法步骤：
1. 给v 标号[0，v ];
1 1
V :已标号点集， 2. 把顶点集V 分为互补的两部分 V : 未标号点集； 3. 考虑所有这样的边[v ,v ], 其中v V ,v V ,
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2 2 v1 3 5 1 v4 5 v3 2 7 5 3 v5 v6 1 7 5 v7
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避圈法是一种选边的过程，其步骤如下：
1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的 权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj； 2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V1 ，其中 V， 与已选边相关联的点集， V， 不与已选边相关联的点集；
三. 最大流问题
1. 问题 已知网络D=（V，A，C），其中V为顶点 集，A为弧集，C={cij}为容量集， cij 为弧（vi，vj ） 上的容量。现D上要通过一个流f={fij}，其中fij 为弧
（vi，vj ）上的流量。问应如何安排流量fij可使D上
通过的总流量v最大？
v2 4 1 5
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3. 基本概念与定理
f c 饱和弧： (1) 弧按流量分为未饱和弧：f c 零流弧：f 0
如：在前面例举的网络流问题中，若已给定一个可行流 （如括号中后一个数字所示），请指出相应的弧的类型。
v2 （4，3） v4
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（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
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E 2 D 3 F
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二. 最短路问题
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字 为两点间距离。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3
v6 1 7
5
v7
v5 5 2. 方法：标号法（Dijkstra，1959）
1 1
挑选其中与v 距最短（mind c )的v 进行标号。
1
1
1
4. 重复3，直至终点（本例即v ）标上号[d ,v ]，则
7 7
d 即最短距，反向追踪可求出最短路。
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用标号法解例3
[2，v1] v2 [0，v1] v1 2 5 3
其中2=min{0+2,0+5,0+3}
思考：破圈法是怎样做的呢？ ——见圈就破，去掉其中权最大的。
2017/10/16
最小部分树问题的应用例子
已知有A、B、C、D、E、F六个城镇间的道路网络 如图，现要在六个城镇间架设通讯网络（均沿道路架 设），每段道路上的架设费用如图。求能保证各城镇均
能通话且总架设费用最少的架设方案。
C
5
A 10 8 B
7 v3 5 [4，v2] 1 3 2 5
[8，v5] v6 1 7
5
[13，v6] v7
v4 [3，v1]
v5 [7，v3]
其中3=min{0+3，0+5，2+2，2+7}
最短距为13；
最短路为v1-v2-v3-v5-v6-v7。
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最短路问题的应用例子
某汽车公司正在制订 5 年内购买汽车的计划。 下面给出一辆新汽车的价格以及一辆汽车的使用 维修费用(万元)：
v4
例如：
vs
3
2
5
1 3 2 vt
v1
v3
2. 数学模型
问题：最大流问题的决策变量、目标函数、约束条件各是什么？
决策变量： 各弧（v ,v ）上的流量f ,
目标函数： Maxv v ( f )
（容量约束） 0 f c v ( f ), i s 约束条件： i s , t （平衡条件） f f 0, v ( f ), i t
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（3） 截集与截量
v ,v ） 使v V ,v V 。称弧集 （ v V ,v V
1 1 1
截集（割集）：将V 分为二非空互补集V 与V ，
1 1 1
为D的一个截集，记为（V ,V ）。
1 1
截量：截集上的容量和，记为 C（V ，V ） 。 例4 对于下图，若V1={vs，v1}，请指出相应的截 集与截量。 v v
第二节 网络分析
网络——赋权图，记D=（V，E，C），其中C={c1，…，cn}， ci为边ei上的权（设ci 0 ）。
网络分析主要内容——最小部分树、最短路、最大流。
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一. 最小部分（支撑）树问题
问题：求网络D的部分树，使其权和最小。
方法：避圈法（Kruskal,1956）、破圈法(管梅谷，1975)。
2
（4，3）
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（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
（3，3）
例4 对于下图，若V1={vs，v1}，请指出相应的截 集与截量。 v v
（3，3）
（2）可增值链（增广链）
：中的正向弧集 D中由v 至v 的链，记 ， ：中的反向弧集 中弧皆未饱 若 ，则称为D中关于可行流f 的 中弧皆非零 一条可增值链。
v2 （3，3）
（4，3）
v4
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）