能带理论(4)(费米面和能态密度)

• 在球面上
k E k
dE dk

k m
2
• 球面面积为
dS
• 所以
4 k
2
D E
2
3
2V
dS k E k m
2

2V
2
3
k
4 k
2
C
E
I (The first Brillouin zone) II III
空格点模型的Fermi面
• 根据固体中的电子数N决定Fermi圆的半径
• Fermi球半径，
kF 3
2
N V
1/3
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三维
2
V ( 2 )
3

4 3
k F N
3
kF
N 2 S 1 N 2 L
考虑自旋
dZ
dSdk 2
3
2V

• 另一方面
dE k E ( k ) d k
dk
dE k E (k )

• 于是 • 所以
dZ
dSdk 2
3
2V
2V 2 3

dS
dE k E k dS
• 能量态密度就是表示这种密集程度的量
• 能态密度的定义： • 能量在E~E+dE的状态数
• 如果dZ表示状态数目，则态密度为
D(E )
dZ dE
能带与态密度的关系
• 在k空间(也称状态空间)， 状态分布是均匀的，密度为 V/(2pi)3。 • 因此，在k空间，等能面 E~E+dE之间的状态数目为
D E
dZ dE

2 3
2V
k E k
• 可以通过能带来求得态密度。如不止一条能带， 则
D E

j
2V
2 3

dS kE
j
k
例：自由电子(空格点模型)态密度
• 能带
E k k 2m
2 2
• 在k空间等能面是球面，半径为
k 2 mE
• 费米面上的尖角钝化
• 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，
而不依赖于点阵相互作用细节
步骤（Harrison方法）
• 倒格子——画Brillouin区
•
• •
自由电子：画半径与电子浓度有关的球
将处在第二、三、… Brillouin区的费米面碎
片分别移到第一Brillouin区
变形费米面，使满足
4 / a
6 / a 8 / a
二维正方格子自由电子的费米面 一价 二价 三价 四价
二维正方格子近自由电子的费米面
Fermi面的畸变
• 过渡到近自由电子近似，Fermi面在靠近 Brillouin区边界发生畸变： • 1、等能面在远离Brillouin区边界处，与自 由电子相近，也是圆 2、等能面靠近Brillouin区边界时，由于周 期场的微扰使能量下降，电子能量随波数k的 增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向 外凸出
1/ 2
二维
kF
一维
• 二维正方格子一、二、三和四价金属的费米面 • 先计算费米波矢，然后作自由电子费米面，靠近边界 处有畸变
• Fermi球半径
kF
N 2 S
1/ 2
一价
kF
2 / a / a ( 第一布里渊边界
)
二价
三价 四价
kF
kF kF
费米面
• k空间，E(k)=C的点构成等能面 • 能量等于费米能级的等能面称为费米面 E(k)=EF • 费米面是系统处于基态时电子占据态与非占据 态的分界面 • 输运性质是由费米面附近的电子态决定的，因 此，了解费米面的结构非常重要
作费米面步骤（ Harrison方法）
• • • • • •
近自由电子近似 Harrison方法——从自由电子费米面过渡 高Brillouin区 自由电子（空晶格）的费米面球面 微扰费米面在Brillouin区边界的畸变 近自由电子费米面
1. 与Brillouin区边界垂直相交
2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变
12、能态密度
• 孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不同 状态的电子；而晶体中，能级准连续分布形成能 带（能级间隔10-21eV）。电子能级非常密集，标 明每个能级没有意义 • 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存在 于这一能量区域！比如说，高温超导材料的一个 特征就是Fermi面附近的能级密度非常高 • 那么如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？
•
3、等能面离开Brillouin区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收缩
• 因此，等能面在Brillouin区边界是不连续的， 不能连续穿越Brillouin区边界
• Fermi面与Brillouin区边界垂直相交
费米面：自由电子过渡到近自由电子
• 自由电子费米球 • 靠近边界处，费米面有畸变 • 费米面与B区边界垂直相交