函数中的存在与恒成立专题(11年6月2编)【新沂市第一中学彭龙升】

恒成立问题专题【1】

【一、知识点梳理：】 1. 逻辑背景：

原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝ 原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝ 2.等价转化思想：不熟系问题熟悉化 3.优化策略：分参函数型；结构特征型；

【二、经典讲练：】

例1 ：已知不等式0122

>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围．

分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。

思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21

(x

x a +<。 思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12

+=x y 图像在ax y 2=的上方．

【变式练习：】 0122

>+-ax x →0123

>+-ax x 012ln >+-→ax x ，该如何处理？

【小结：】解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解． 例2：已知函数12)(2

+-=ax x x f ，x

a

x g =

)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

【分析：】

1） 思路、等价转化为函数

0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．

2） 思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．

简解：（1）由12012232

++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(1

2)(2

224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是3

2

0<

例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

1

[∈x 恒成立，

求实数b 的取值范围．

分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．

方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；

方法2：变量分离，)(10x x

a b +-≤或x b x a )10(2

-+-≤；

方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=

b x a x a ϕ，]2,2

1[∈a 简解：方法1:对b x x

a

b x x g x h ++=++=)()(求导，2

2))((1)(x a x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)4

1

(h 与)1(h 中的较大者．

⎪⎩

⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944

39

1011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 【合作探究：】

⑴ 已知()2

1f x x mx =++试求m 的取值范围，使()3f x ≥对任意[]1,1x ∈-恒成立

⑵ 已知()21f x m xm =++试求x 的取值范围，使()3f x ≥对任意[]1,1m ∈-恒成立 ⑶ 已知()21f x m mx =++试求m 的取值范围，使()3f x ≥对任意[]1,1x ∈-恒成立 ⑷ 已知()21f x x mx =++试求x 的取值范围，使()3f x ≥对任意[]1,1m ∈- 恒成立

()()21g m xm x =++

【能力形成：】

1.【2010绍兴一模理第17题改编】 在区间]1t ,t [+上满足不等式1|13|3≤+-x x 恒成立，求实数t 的取值范围．

分析：

3图解：

2.对于任意的,42x ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，不等式242sin cos 2sin p x x x +≤恒成立，则实数p 的取值范围为 ▲ .

3.【洪翔中学08-09学年高一上学期期中】已知函数x ax x f +=2

)(，()0≠∈a R a 且 （1） 对于任意的实数21,x x ，比较)]()([2121x f x f +与)2

(

2

1x x f +的大小； （2） 若[]1,0∈x 时，有1|)(|≤x f ，求实数a 的取值范围。

解. (1)

)(4

)2()]()([21212121x x a

x x f x f x f -=+-+2 当0>a 时，0)2

(

)]()([2

1

2

121≥+-+x x f x f x f ， 即)2

(

)]()([212

121x x f x f x f +≥+； 当0

()]()([2

12

121x x f x f x f +≤+ 。 （2）[]1,0∈x

当0=x 时，0|)(|=x f 符合题意；当]1,0(∈x 时，1|)(|≤x f

即⎩⎨⎧-≥+≤+1122

x ax x ax ⎪⎩

⎪⎨

⎧-

-≥-≤∴x x a x x a 111122 02≤≤-∴a 又02,0<≤-∴≠a a

4.【奔牛中学10-11高三一调】已知二次函数

()2f x ax bx c =++．

（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；

(2) 若对12,,x x R ∀∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明()012,x x x ∃∈，使()()()0121

2

f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立； (3) 是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件

① 对x R ∀∈，(4)(2)f x f x -=-，且()0f x 的最小值是； ② 对x R ∀∈,都有21

0()(1)2

f x x x ≤-≤

-．若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，