(完整word版)数列求和及综合应用

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式.

(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d ,2+4d 成等比数列可求得公差d ,从而根据通项公式表示出数列{a n }的通项. (2)根据{a n }的通项公式表示出{a n }的前n 项和公式S n ,令S n >60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2

=2(2+4d ),

化简得d 2

-4d=0,

解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;

当d=4时,a n =2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n-2. (2)当a n =2时,S n =2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n ,使得S n >60n+800成立. 当a n =4n-2时,S n =

[2(4n 2)]2

n +-=2n 2

.

令2n 2

>60n+800,即n 2

-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n ,使得S n >60n+800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n.

当a n =4n-2时,存在满足题意的n ,其最小值为41.

2. （2014·湖北高考理科·Ｔ18）已知等差数列{a }n 满足： 1a ＝2，且123,,a a a 成等比数列.

（1） 求数列{a }n 的通项公式.

（2） 记n S 为数列{a }n 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800?n S n >+若存在，求n 的最小

值；若不存在，说明理由.

【解题指南】（Ⅰ）由2，2d +，24d +成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{}n a 的通项；

（Ⅱ）根据{}n a 的通项公式表示出{}n a 的前n 项和公式n S ,令n S 60800n >+，解此不等式。 【解析】（1）设数列{a }n 的公差为d ，依题意，d,2d,24d ++成等比数列， 故有2

(2d)2(24d)+=+

化简得2

d 40d -=，解得0d =或4d = 当0d =时，a 2n =

当4d =时，a 2(n 1)442n n =+-⋅=-

从而得数列{a }n 的通项公式为a 2n =或a 42n n =-。 （2）当a 2n =时，2n S n =。显然260800n n <+ 此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立。 当a 42n n =-时，2[2(4n 2)]

22

n n S n +-=

=

令2

260800n n >+，即2

304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），

此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41。 综上，当a 2n =时，不存在满足题意的n ；

当a 42n n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41。 3. （2014·湖南高考理科·Ｔ20）（本小题满分13分）

已知数列{n a }满足*

111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈

（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若1

2

p =

，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 【解题提示】（1）由{n a }是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用12,3,23a a a 成等差数列，得到关于p 的方程即可；

（2） {21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。

【解析】（1）因为{n a }是递增数列，所以n

n n p a a =-+1， 又11=a ，1,12

32++=+=p p a p a ，

因为12,3,23a a a 成等差数列，所以p p p p p a a a =+++=++=2

23123,333144,34，

解得0,3

1==

p p ，当0=p ，01=-+n n a a ，与{n a }是递增数列矛盾，所以31=p 。

（2）因为{21n a -}是递增数列，所以01212>--+n n a a ， 于是()+-+n n a a 212()0122>--n n a a ① 由于

1

2221

21-<

n n ，所以122212-+-<-n n n n a a a a ② 由①②得()0122>--n n a a ，所以()1

221

21222121----=

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=-n n n n n a a ③ 因为{2n a }是递减数列，所以同理可得0212<-+n n a a ，()n

n n

n n a a 21

222122

121++-=

⎪

⎭⎫

⎝⎛-=-④由③④得

()n

n n

n a a 2111++-=-，

所以()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ

()()()1

23122121211--+

+-+-+=n n

Λ()1

1

2131342

11211211---+=+⎪⎭⎫

⎝

⎛--⋅+=n n

n ， 所以数列{n a }的通项公式为()1

213134--+=n n

n a ． 4. （2014·湖南高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n

n S n ，2

2. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()n n

a

n a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.

【解题提示】（1）利用n n S a ,的关系求解，（2）分组求和。