7.5三角形内角和定理课件

【义务教育教科书北师版八年级上册】
三角形内角和定理
学校：________ 教师：________
情境引入 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它 们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴， 发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大 ，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“ 这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了 „„”“为什么？” 老二很纳闷. 同学们，你们知道其中的道理吗？
1 1 （∠A+∠B）= ×90°=45°， 2 2
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°， ∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA） =180°﹣45°=135°
探究2 观察与思考 三角形的一边与另一边的延长线组成 的角，叫做三角形的外角.
B
不相邻 内角
想一想： 外角与相邻内角有什么特殊
1 2 3
B A E
· ·C
D
分析：要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”,
“内错角相等”或“同旁内角互补”.
例题讲解 证明:由证法1可得:∠DAC=∠C (已证), ∵ ∠BAC+∠B+∠C (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得 到了证实. =1800
达标测评
2．如图所示，AD、BC相交于O点，若∠A=35°， ∠B=56°，∠D=46°，则∠C的度数是（ B ） A．31° B．45° C．41° D．55°
A O
C
达标测评
3 ．如图，若△ ABC的三条内角平分线相交于点 I ，过 I 作 DE⊥AI 分别交 AB、 AC于点 D、 E ，则图中与∠ ICE 一定相等的角（不包括它本身）有（ B）个． A．1 B．2 C．3 D．4
3 2 41
B
C
D
又∵ ∠1+ ∠4= 180°
∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换)
百度文库
探究2 证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角 A
2 3 1
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3 B
C
D
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和）
做一做 2、如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=40°，AD是∠BAC的角平分线 ，求∠ADC的度数． 解：∵∠C=90°，∠B=40°， ∴∠BAC=50°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=
1 ∠BAC=25°， 2
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°
例题讲解 例2：已知：如右图,在△ABC中， ∠B= ∠C ， AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC.
∵AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD =1/2 ∠BAC =40°(角平分线的定义) 在△ADB中， ∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理)， ∵ ∠B=38°（已知）， ∠BAD=40°（已证）， ∴∠ADB=180°- 38°- 40°=102°（等式的性质）
做一做 1、在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C= 1020 .
2、在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 0 40 则∠A = ＿＿＿＿. 3、在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 0 120 则∠C = ＿＿＿＿.
做一做 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交 于点E，求∠AEB的度数． 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠A+∠B=90°， ∵∠A、∠B的平分线相交于点E， ∴∠EAB+∠EBA=
∴ ∠1> ∠2,
∠1> ∠3
探究2 像这样,由一个公理或定理直接推出 的定理，叫做这个公理或定理的推论 推论可以当作定理使用. 三角形内角和定理的推论
B 3 C A 2 1 D
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和. △ABC中，∠1=∠2+∠3 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角. △ABC中，∠1＞∠2，∠1＞∠3
探究1 以前你用什么办法验证三角形内角和是180º 把三个角拼在一起试试看？
从刚才拼角的过程你能想出 证明的办法吗?
探究1
A E
1
已知:如图∠A，∠B，∠C是 △ABC的内角. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB, B
3
C
2
D
这里的CD,CE称
为辅助线,辅助线 通常画成虚线.
做一做 1、已知：如图，在△ABC中，外角 ∠DCA=100°, ∠A=45°。 求：∠B和∠ACB的大小. B A 45° 100° C D
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∴ ∠B= ∠DCA-∠A=100°-45°=55°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180° ∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置，
把∠B移到了∠2的位置.
探究1 证明:作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，则 ∠1=∠A(两直线平行，内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?
探究1 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三 个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)， 他的想法可以吗? 请你帮小明把想法化为实际行动.
P
1 3 2
A
Q
B
C
探究1 证明:过点A作PQ∥BC，则 ∠1=∠B(两直线平行，内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
布置作业
教材183页习题第1，2题
达标测评
4．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比
另一个角大20°，则此三角形的最小角等于（ 40° ）．
达标测评
5．如图，△ ABC中，∠ A=70°，∠ B=60°， CD是
∠ACB的平分线，DE⊥BC，EF∥CD交AB于F，
求∠DEF的度数
达标测评
解：∵△ABC中，∠A=70°，∠B=60°， ∴∠ACB=50°，
B A E
· ·C
D
例题讲解 例3：已知：如图， P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC＞∠ A A
p C
例题讲解 证明：如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠BPC＞∠ PDC （三角形的一个外角大于任何一个 和它不相邻的内角）. ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角）. ∴∠BPC＞∠ A
小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？ 1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800 2、推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
达标测评
1．△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数是 （ C ） A．40° B．50° C．60° D．70°
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB=25°，
∵EF∥CD，
∴∠FEB=25°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF的度数为：90°﹣25°=65°．
拓展延伸
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC ，若∠EBC=32°，∠AEB=70°． 若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形 时，求∠BEF的度数．
拓展延伸
解：分两种情况： ①当∠EFC=90°时，如图1所示： 则∠BFE=90°， ∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°； ②当∠FEC=90°时，如图2所示： 则∠EFC=90°﹣38°=52°， ∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°； 综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．
B
P
1 3 2
A
Q
C
例题讲解 例1．如图，在△ABC中， ∠B＝38 °， ∠C＝62° ，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数
A
B D C
例题讲解 解：在△ABC中， ∠B+∠C +∠BAC=180°(三角形内角和定理)，
∵ ∠B=38°， ∠C=62°（已知），
∴ ∠BAC=180°- 38°- 62°=80°（等式的性质）
关系？
4
外角
∠4+∠3=180°
A
相邻内角 C
D
探究2
1、每一个三角形有几个外角？
6个外角.
2、每一个顶点处相对应的外角有几个？
各有两个外角(互为对顶角).
3、这些外角中有几对外角相等？
有3对外角相等
探究2
证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 A 的和
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1= ∠2+ ∠3 证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° （三角形内角和定理） ∴∠2+ ∠3= 180°-∠4 ∴∠1 = 180°-∠4