拉普拉斯变换2122

2.1 拉普拉斯变换的概念
1. 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件，则有傅
里叶F变()换 F [ f (t)] f (t)e jtdt
f (t) F 1[F ()] 1 F ()ejtd
2
几乎所有的实用函数φ(t)乘上u(t)再乘上e-t后得到的
F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数)。 而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)，记为
f(t)=L 1[F(s)] 也可记为 f(t)F(s)。
2.若拉函普数拉f(斯t)满变足换:的存在定理 1） 在t0的任一有限区间上分段连续
2） 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指

T f(t)e-stdt
2T
f(t)e
-stdt
(k1)T f (t)e-stdt
0
T
kT

k 0

(k 1)T kT
f
(t
)e-st
dt

但 (k1)T f (t)est dt tkTu T f (u kT)es(ukT)du
这0 样f (t),e原std来t 的(拉2.1氏) 变换的定义
应为
L[ f (t)]
f (t) estd t
0
但为了书写方便起见, 仍写成(2.1)式的形式。
例 求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换。
L [d (t)] d (t) estd t 0
冲激函数的 筛选性质
F(s)为解析函数。
3. 拉普拉斯变换的收敛域
（ROC：The Region of Convergence） 使 f(t)拉氏变换存在的Re(s)>c的取值范围称为F(s)的收敛域。
jω
0 cα
σ
收敛边界
收敛域
例1
求单位阶跃函u(t)数 10
t 0的拉氏变换 t 0
解 根据拉氏变换的定义, 有
φ(t)u(t) e-t傅氏变换都存在。 f(t)
f(t)u(t)et
O
t
O
t
对函数j(t)u(t)e t(>0)取傅氏变换，
可得
G ()
j (t )u(t ) ete jtd t

f (t ) e( j )td t f (t ) estd t
b a
u
d
v

uv
|ba

b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) estd t estd f (t)
0
0
est

f (t)
f (t) dest
0
0
f (0) s f (t) estd t sL [ f (t)] f (0) 0
同理可得
L [coskt] coskt est d t 0
1 (ejkt e jkt ) est d t
20
1 e(s jk )t d t e(s jk )t d t
2 0
0


1 2

1 s jk
j e(s jk)td t e(s jk)td t
20
0

j
2

s
1 jk
e(s jk )t
0

s
1 jk
e(s jk)t
0

j 1
1 k

2

s

jk

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jk


s2

k2
Re(s) 0
b

1 s2
(1 ebs )2
L
[
f
(t)]

1

1 e
2bs
2b f (t) estd t
0
Re(s) 0

1

1 e
2bs
(1 ebs )2
1 s2

1 s2
1 ebs 1 ebs

1 s2
tanh bs 2
常用函数拉氏变换对：
δ(t) u(t)
e kt sin kt coskt
kT
0
eskT T f (u)esudu eskT T f (t)est dt
0
0
L[f (t)] eskT T f (t)estdt 0 k 0

T

f (t)est dt
e skT
0
k 0
1
1 es T
T f (t)es tdt
若L [f(t)]=F(s), 则 F '(s)=L [-t f(t)], Re(s)>c.
和 F (n) (s)=L [(-t)n f(t)], Re(s)>c.
证明 因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以 调换次序
d F (s) d f (t) estd t
ds
ds 0
d f (t) estd t tf (t) estd t
L [ f (t)] L [ f (t)]
当f(t)在t=0处包含了冲激函数时, 则
为了00 f考(t)虑es这td t一 0情,即况,L需[ f将(t)进] 行L拉[ f (氏t)]变换的函数 f(t), 当t0时有定义扩大为当t>0及t=0的任意一
个邻域内有定义.
L [ f (t)]
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)>Re(k)
例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉 氏变换。
解 根据拉氏变换的定义, 有
L [sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
引言
拉氏变换在系统分析中的优势
1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数方程， 降低求解难度。
2、将系统在时域内的卷积计算转换为复频域的乘法计算， 减少计算量。
3、在拉氏变换的基础上建立的运算法，为线性时不变电 路的分析计算提供了很大方便。
4、利用在复频域中引出的系统函数，可以方便地分析系 统的各种特性。
0
Re(s) 0
例
求周期性三角f (t)波 t2b t
0 t b 且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换
b t 2b
f(t)
b
O b 2b 3b 4b
t
解
2b f (t) estd t
0
b t estd t
0
2b (2b t) estd t
L [ f (t)] ektestd t e(sk )td t
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L [ekt ] 1 (Re(s) k). sk
e(s jk )t
0

1 s jk
e(s jk )t
0

1 2

1 s jk

1 s jk


s2
s k2
Re(s) 0
4. 拉普拉斯变换的积分下限0满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处 有界时, 积分
中的下L限[取f0(+t或)]0不会影响f (其t)结e果st。d但t 如果f(t)在t=0处 0
L [u(t)] est d t 0
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
estd t 1 est 1
0
s0 s
所以 L [u(t)] 1 (Re(s) 0). s
j
O

例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数) 。
解 根据拉氏变换的定义, 有
包含冲激函数时, 就必须明确指出是0+还是0, 因为
L[ f (t)]
f (t) est d t
0
L[ f (t)]
f (t) est d t
0

0 0
f
(t) est d t
L[
f
(t ) ]
当f(t)在t=0处有界时, 则
0 f (t) est d t 0,即 0
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
在s的某一 域f (内t) e收敛std,t则由(s此是积一分个所复确参 定量 的函) 数可写为 0
F (s) f (t) estd t (2.1)
称此式为函数f(t)的0拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式), 记为 F(s)=L [f(t)]
数函数, 即存在
常数M>0及c0, 使得
Mect
|f(t)|Mect， 0t<
f(t)
则f(t)的拉氏变换
F (s) f (t) estd t 0
M
O
t
在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积分在Re(s)c1>c
上
绝对收敛而且一致收敛，并且在Re(s)>c的半平面内，
0
0
其中 s j, f (t) j (t)u(t)
若再设
F (s)

G

s

j

则得 F (s) f (t) e
关键在于引入衰0减因子e-
st d t
t，可适用于更多函数信号。
只能描述振荡频率，而 s 不仅能给出重复频率，还可以
表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。
即 -k2L [cos kt]= s2L [cos kt]- s
移项化简得
L
[cos kt]
s2
s k2
(Re(s) 0)
例 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数。
解 由于 f(0)= f '(0)= ... =f (m-1) (0)=0, 而f (m) (t)= m!
n1
f(n)(t) ←→ sn F (s) sn1i f (i) (0 ) i0
若初值为零，f(0-)=f′(0-)= … =f (n-1) (0-) 则 f(n)(t) ←→ snF(s)
Re( s) c
此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化 为F(s)的代数方程。
证明 根据分部积分公式和拉氏变换公式
1
1 s
1 sk
k s2 k2
s s2 k2
2.2 拉普拉斯变换的性质
1. 线性性质
若a,是常数
L [f1(t)]=F1(s), Re(s)> c1 ,L [f2(t)]=F2(s), Re(s)>c2 则有
L [af1(t)+f2(t)]=aF1(s)+F2(s) L 1[aF1(s)+F2(s)]=af1(t)+f2(t)
傅氏变换的局限
频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解 为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。 物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tu(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解 决这些问题。
Re(s)> max(c1,c2)
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出。
例 f(t) = d(t) + (t)←→1 + 1/s， Re(s)> 0
2. 微分性质
时域微分性质
若f(t) ←→ F(s) 则f ′(t) ←→ sF(s) – f(0-)
f 〞 (t) ←→ s2F(s) – sf(0-) – f′(0-)
所以 L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)] sm
1f0) sm2f '(0)
即 L [m!]=smL [tm]
... f(m1)(0)
而 所以
L [m!] m!L [1] m! s
L
[t m ]
m! s m1
(Re(s) 0).
s域微分性质
d (t) est d t 0
est 1
5. 一周般期地函，数t0以的T拉为普周拉期斯的变周换期函数f(t)，即f(t)
=f(t+T)，当f(t)在一个周期上是分段连续时
，则有
L [ f (t)]

1

1 esT
T f (t) estd t
0
(Re(s) 0)
证明： L[ f (t)] f (t)e-stdt 0
即L [ f (t)] sF (s) f (0) (Re(s) c)
例 利用微分性质求函数f(t)=cos kt 的拉氏变换。
解 由于 f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=k2cos kt, 则
L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]= s2L [f(t)]- sf(0)- f '(0)