【高中教育】最新高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线
优化练习
______年______月______日
____________________部门
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A ．π
B ．2π
C ．12π
D ．14π
解析：当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 答案：C
2．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：由圆的摆线的参数方程
⎩
⎨⎧ φ－sin φ
φ
(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一
个拱的高度是3×2＝6.
答案：B
3．圆(φ为参数)的渐开线方程是( ) A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) D.(φ为参数)
解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为(φ为参数)．
答案：C
4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( )
A.
B.⎩⎨
⎧ x＝8φ－3sin φ，y＝8－3cos φ
C.
D.⎩⎨
⎧
x＝3φ－8sin φ，y＝3－8cos φ
解析：易知点M 的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C. 答案：C
5．当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是( ) A ．(6,0) B ．(6,6π) C ．(6，－12π) D ．(－π，12π)
解析：当φ＝2π时，
⎩
⎨⎧ π＋2πsin 2ππ－2π·cos 2π
π.
故选C.
答案：C
6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________．
解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为(φ为参数)．
答案：(φ为参数)
7．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.
求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x ＝＋，y ＝－，由此可得对应的点的坐标为.
答案：2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
22
＋2π8，22－
2π8 8．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是
⎩⎨
⎧ x＝4cos φ＋4φsin φ，
y＝4sin φ－4φcos φ
(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
9．求摆线(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标． 解析：当y ＝2时，有2(1－cos t)＝2，∴t＝或t ＝. 当t ＝时，x ＝π－2； 当t ＝时，x ＝3π＋2.
∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．
[B组能力提升]
1．t＝π时，圆的渐开线上的点的坐标为( )
A．(－5,5π) B．(－5，－5π)
C．(5,5π) D．(5，－5π)
解析：将t＝π代入参数方程易得x＝－5，y＝5π.故选A.
答案：A
2．已知摆线的参数方程为(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：方法一由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr＝
4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.
方法二由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点
的距离，令y＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2kπ(k∈Z)，不妨分别取k＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x1＝0，x2＝4π，所以摆线与x轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于
4π；
又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时φ＝＝π，所以摆线一个拱的高度为|y|＝2(1－cos π)＝4.
答案：D
3．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案：12 3
4．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x ＝4＋π，y ＝4－π，由此可得对应的坐标为(4＋π，4－π)．
答案：16 (4＋π，4－π)
5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程．
解析：令y ＝0得r(1－cos φ)＝0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k∈Z)．
则x ＝r(2k π－sin 2k π)＝4，即得r ＝(k∈Z)． 又r>0，易知，当k ＝1时，r 取最大值为.
圆的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨
⎪⎧
x＝2π
φ＋φsin φy＝2π
φ－φcos φ
(φ为参数)．
6．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
解析：(1)圆C平移后的圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是(φ为参数)．。