三元基本不等式教学内容

基本不等式在求最值中的应用与完善

杨亚军

函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关，而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会?只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解

决实际应用问题。

基本不等式的内容及使用要点

1、二元基本不等式：

①a, b€ R时，a2+b2>2ab （当且仅当a=b时“二”号成立）；

②a，b》0时，a+b>2 （当且仅当a=b时“=”号成立）这两个公式的

结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之

内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式

及公式的变形：ab< - ，ab< - 。对不等式ab< 亠，

还有更一般的表达式：|ab| 。

a + b

由数列知识可知，亠称为a，b的等差中项，「二'称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数

的等比中项不大于它们的等差中项”

2. 三元基本不等式：

当a, b, c>0时，a+b+c》,当且仅当a=b=c时，等号成立，乃至n元基本不等式；当a i>0（i=1，2,…，n）时，a i+&+…+a& J a L a2，，，a n.。

二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0, b>0时，二+ - 丄

>2, a+ 心>2 等。

当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，

丄

如a<0时，可得到a+ w-2。

基本不等式中的字母a, b可代表多项式。

3. 利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已

学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。

利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。

一般说来，“见和想积，拆低次,凑积为定值，则和有最小值；