(课件)2016中考数学复习 等腰三角形与直角三角形课件

温馨提示： 由判定2可知，在等腰三角形中，只要有一个角 是60° ，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就 是等边三角形.
考点四 1．性质
直角三角形的性质和判定
(1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30° ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (4)勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和 等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.
2 2 2 2
方法总结： 若已知三角形中的一个角为 90° ， 解这个直角三角 形首先应考虑勾股定理 . 证明一个三角形为直角三角 形，可证明一个内角等于 90° ，也可利用勾股定理的逆 定理.
考点五 作图：
线段垂直平分线的性质
例 5(2014· 河南)如图，在△ABC 中，按以下步骤
1 ①分别以点B，C为圆心，以大于 BC的长为半径 2 作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于 点D，连接CD. 若CD＝AC，∠B＝25° ，则∠ACB的 度数为________．
3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25° ，则该三角形的一个底角为( A．32.5° C．32.5° 或57.5° ) B．57.5° D．65° 或57.5°
解析： 如图①， ∵∠ABD＝25° ， ∠BDA＝90° ， ∴∠A＝65° .∵AB＝AC，∴∠C＝(180° －65° )÷ 2＝ 57.5° . 如 图 ② ， ∵∠ABD ＝ 25° ， ∠BDA ＝ 90° ， ∴∠BAD＝65° .∵AB＝AC， ∴∠C＝65° ÷ 2＝32.5° . 故选 C.
温馨提示： 1.勾股定理的逆定理是识别一个三角形是否是直 角三角形的一种理论依据，在运用时，一定要用两短 边的平方和与长边的平方作比较. 2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数.
3.若 a，b，c 为一直角三角形的三边长，则以 ma， mb，mcm＞0为三边的三角形也是直角三角形. 4.如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一 半，那么这个三角形是直角三角形.
(2)∵∠DEC＝60° ，∠DEF＝90° ， ∴∠CEF＝30° ＝∠F. ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60° ， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CD＝CE＝2. ∴DF＝2CE＝4.
方法总结： 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于60° ，中线、高、角平分线三线合一.根据 以上性质可以进行相关的计算与证明.
【点拨】由作图方法可知 BD＝CD，∴∠DCB＝ ∠B＝25° .∵∠ADC 是△BDC 的外角， ∴∠ADC＝∠B ＋∠DCB＝50° .∵CD＝AC，∴∠A＝∠ADC＝50° . ∴∠ACB＝180° －∠A－∠B＝180° －50° －25° ＝105° . 【答案】 105°
方法总结： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相 等.利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰 三角形的性质解决相关的问题.
2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示： 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角 都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
(1)求∠F 的度数； (2)若 CD＝2，求 DF 的长． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，由性质得 出角的度数是解本题的关键．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60° . ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60° ，∠DEC＝∠A＝60° . ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90° . ∴∠F＝90° －∠EDF＝30° .
考点一
百度文库
等腰三角形的性质
例 1(2014· 南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
A．30° C．40°
B．36° D．45°
【点拨】 ∵AB＝AC， CD＝AD， AB＝BD， ∴∠B＝∠C ＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA.又∵∠BDA 是△ADC 的外角， ∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝2∠C.设∠B＝x° ，则∠BDA＝ ∠BAD＝2x° ，根据题意，得 x° ＋2x° ＋2x° ＝180° ，解得 x＝ 36，即∠B＝36° .故选 B. 【答案】 B
2 2 2 2
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c －a －b ＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角 形． 解析： ∵ c －a －b ＋ |a － b| ＝ 0 ， c －a －b 腰直角三角形．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等
答案： C
4．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的 平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直 平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.若 BF＝2，则 PE 的长为( A．2 C. 3 ) B．2 3 D．3
解析：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC， ∴∠DBA＝∠DBC＝30° .∵QF 垂直平分 BP，∴BP＝ 1 2BQ，且∠BQF＝90° .在 Rt△BFQ 中，FQ＝ BF＝1， 2 BQ ＝ BF －FQ ＝ 2 －1 ＝ 3. 于是 BP ＝ 2 3. 在 1 Rt△BPE 中，PE＝ BP＝ 3.故选 C. 2 答案： C
考点四
直角三角形的性质与判定
例 4(2014· 无锡)如图， △ABC 中， CD⊥AB 于点 D， E 是 AC 的中点，若 AD＝6，DE＝5，则 CD 的长等于 ________．
【点拨】 ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90° .在 Rt△ADC 中，E 是 AC 的中点，DE＝5，∴AC＝2DE＝10.∵AD ＝6，∴CD＝ AC －AD ＝ 10 －6 ＝8. 【答案】 8
6．如图，△ABC 中，∠A＝80° ，∠B＝40° ，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC.如果 AD＝2， BD＝6，那么△ADC 的周长为 .
解析：∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴CD＝ BD＝6，∴∠DCB＝∠B＝40° ，∴∠ADC＝∠B＋ ∠BCD＝80° ，∴∠ADC＝∠A＝80° ，∴AC＝CD＝ 6，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝2＋6＋6＝14. 答案： 14
温馨提示： 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，非直角 三角形可作高转化为直角三角形.
2．判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
考点五
线段垂直平分线的性质和判定
1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上．
温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点， 这一点到三 角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点， 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
方法总结： 等腰三角形有两个性质：1“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；2“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于90° 、计算线段长度和角的 大小等.
考点二
等腰三角形的判定
例 2(2014· 襄阳)如图，在△ABC 中，点 D，E 分 别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三 个条件：
考点二 1．性质
等腰三角形的性质和判定
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成：等边对 等角)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合； (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，顶 角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线 是它的对称轴．
温馨提示： 这个性质简写成“三线合一”，但不能简单地说 成“等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一”.
1．等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为( A．6 ) B．2 5 C. 7 D．5
解析：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC， AD 是 BC 上的中线，
1 ∴BD＝CD＝ BC＝3，AD 是 BC 上的高，∴AB 2 ＝ AD2＋BD2＝5，故它的腰长为 5.故选 D. 答案： D
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三
等边三角形的性质与判定
例 3(2014· 温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1) 上 述 三 个 条 件 中 ， 由 哪 两 个 条 件 可 以 判 定 △ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 【点拨】本题以开放题的形式考查等腰三角形的 判定．
解：(1)①②；①③ (2)选①②证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD， ∴△BOE≌△COD.
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1．(2014· 宜昌)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A ＝30° ，以 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AC 于 点 D，连接 BD，则∠ABD＝( A．30° C．60° B．45° D．90° )
解析：∵AB＝AC，∠A＝30° ，∴∠ABC＝∠C＝ 75° . 由作图可知 BD ＝ BC ， ∴∠BDC ＝ ∠C ＝ 75° ， ∴∠DBC＝ 180° －2×75° ＝30° ，∴∠ABD＝75° －30° ＝45° .故选 B. 答案： B
2．已知等腰三角形的一个内角为 40° ，则这个等 腰三角形的顶角为( C A．40° C．40° 或 100° ) B．100° D．70° 或 50°
解析：分两种情况：(1)这个等腰三角形的顶角为 40° ，则底角为(180° － 40° )÷ 2＝ 70° ； (2)这个等腰三角 形的底角为 40° ，则顶角为 180° －2×40° ＝100° . 故选 C.
第18讲
等腰三角形与直角三角形
考点一
等腰三角形的概念及分类
1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三条 边都相等的三角形叫做等边三角形． 2．等腰三角形分为：底和腰不相等的等腰三角 形和等边三角形．
温馨提示： 1.若题目中没有明确边是底还是腰，角没有明确 是顶角还是底角，就需要分类讨论. 2.等腰三角形的两腰必须满足两腰之和大于底， 底角α满足0° ＜α＜90° ，顶角β满足0° ＜β＜180° .
7．如图，在△EBD 中，EB＝ED，点 C 在 BD 上， CE＝CD， BE⊥CE， A 是 CE 延长线上一点， EA＝EC. 试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．
解：△ABC 是等边三角形．
证明：∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠D. ∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 又∵∠BCE＝∠D＋∠CED， ∴∠BCE＝2∠D＝2∠EBD. ∵BE⊥CE，∴∠BCE＝60° ，∠EBC＝30° . ∴BC＝2CE. ∵EA＝EC， ∴BC＝AC. ∴△ABC 是等边三角形．