有限元与数值方法-讲稿6-7 弹性力学有限元的一般原理与格式

0 N1
N2 0
e B
0 N2
N3 0
B2
B3
Bi
N i x 0 N i y
0 N i y N i x

则单元内应变可表示为：
B1 1e B2 2e B3 3e
2
位移、应变与几何方程
位移 应变
ui (i 1,2,3); {u} (u, v, w)
x
y
v y
y z yz zx xy
yz
w v y z
T
ij (
1 ui u j ) 2 x j xi
0 y 0 z 0 x 0 0 z y x
同理：
v x, y N1 x, y N 2 x, y v1 N3 x, y v2 v 3
10
三节点三角形平面单元的形函数
三角形单元形函数的具体形式为：
1 a1 b1x c 1y 2A 1 N2 x, y a 2 b2x c 2y 2A 1 N3 x , y a 3 b3x c 3y 2A N1 x , y
3
u x x
w z z
xy
v u x y
zx
w u x z
Lu
x 0 0 [ L] 0 z y
线弹性本构关系的张量表示
一般的各向异性材料的线弹性应力－应变关系：
1 与前述三角形形函数 Ni x, y ai Байду номын сангаасbi x ci y (i 1, 2,3) 对比知 2A
三角形的面积坐标就是形函数，即
Li Ni
(i 1, 2,3)
14
形函数的性质及位移插值
(1)
1 i j Ni x j , y j 0 i j
i
0 1 1 Ai Pj Pk e3 x j x 2 2 xk x

0 1 yj y 0 yk y 0 y 1 1 x 1 yj 1 1 xj 2 yk 1 1 xk y yj yk
j
P Ai k
x 1 xj x 2 xk x
y 1 x 1 yj y 0 xj 2 yk y 0 xk
其中：
3(k)
2(j) 1(i)
A
1 1 x2 2 1 x3
1 x1
y1 y2 y3
xj ai xk
yj 1 yj bi yk 1 yk
1 xj ci 1 xk
(i, j , k )
以上系数可由3x3方阵的逆矩阵的行列式表达推导出
11
三角形的面积坐标
三角形的面积坐标用直角坐标表示为：
18
单元应力矩阵
应力：
x y D D B e xy
S e
[ S ] [ D][B]
称为单元应力矩阵
19
单元应变能和外力势能的矩阵表达
应变能 U为： y
4
平衡方程：
最小总是能原理
ij x j
fi 0
i 1, 2,3
ij n j fi
u
边界条件
ui ui 在位移边界条件上： ij n j ti 在应力边界上：


u

5
位移法有限元分析的步骤
一、结构的离散化
离散化---- 将连续体结构划分成有限个单元， 并在单元的指定点设置节点，使相邻单元的有 关参数具有一定的连续性。为了使该离散的计 算模型有效地逼近实际的连续体，就需要合理 选择单元的形状和网格，确定单元和节点的数 目、节点的位置和自由度等问题。
e
0 N3 2 N2 0
0 3 N3
e
N2 0
0 N2
0 1 2 N3 3
d N
N
i 1 i e 1
N
d N
有限元与数值方法第6讲
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@dlut.edu.cn 教室：综合教学楼 351
时间：2013年4月19日：8：00—10：50
1
第二篇：弹性力学有限元的基本理论和格式
2.1 弹性力学有限元的一般格式 平面问题的有限元格式 弹性力学有限元的一般格式和求解步骤 有限元解的性质和收敛准则 2.2 单元与插值函数的构造 2.3 等参元与数值积分 等参元与数值积分 典型的等参单元 2.4 有限元法应用中的实际考虑 建立有限元模型： 计算结果的性质和处理 子结构法 对称性和周期性的利用 非协调元与分片实验
B D B d a S p N ds
T T
p
其中， a 是三个顶点的六个位移组成的向量
8
单元分析（构造）：位移模式
3(k) 单元内任一点位移：
u 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ... v 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ...
求导，可得到单元内任一点的应变和位移关系：
x x y 0 xy y
0 u y v x
x 0 y
0 e N y x
B
17
单元应变矩阵
进一步表示为：
bi 0 1 0 ci 2A ci bi
定义单元应变矩阵：
x B 0 y 0 N1 y 0 x
1
1
1
0 0 0
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0
Ni =1 i
(2)
N x, y 1
i 1 i
3
Ni =1 i k j Nj =1
Nk =1 k
j
思考：物理意义是什么？
u x, y N1 d v x , y 0 N1 0 0 N1
位移：
0 N2 1 N1 0 N3 0
ui i b j 0 bm 0 u j 0 c j 0 cm j c j b j cm bm u m m
0 B1 N3
常应变
e B i i i 1 N
j
P Ai k
i(1, 0, 0);
j (0,1, 0); k (0, 0,1)
（1）面积坐标不相互独立：
Li L j Lk 1
13
用面积坐标表示的形函数
三角形的面积坐标与直角坐标的关系：
i
1 Li Ai / A 1 xj 2A 1 xk
1
x
y yj yk
j P Ai k
1 ( x j yk xk y j ) ( y j yk ) x ( xk x j ) y 2A
1
1
v3
3 u3 v2 2 u1 u2
u x, y 1 x
u1 u2 u3
v1 1
u1 N x , y N x , y N x , y 1 2 3 u2 u 3 形函数（插值函数）
对节点2： 对节点3：
u3 u1
u2
3节点三角形单元：
u 1 2 x 3 y v 1 2 x 3 y
9
u1 1 x1 u2 1 x2 u 1 x 3 3
所以
y1 1 y2 2 y3 3
1、单元的几何形状 选择单元的形状既要考虑单元的精度和计算量， 又要考虑对边界形状的适应性。
7
5. 2. 平面问题的三角形单元： （1）三节点三角形单元
v3 f3y 3 f3x u3 v2 f1y v1 u1 1 f1x f2y u2 2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点 上的六个力，要求得六个角点的位 移。或者是要求三角形角点发生指 定的位移，在三角形三个角点如何 加力？ 采用瑞雷－里兹法求近似式解
以上推导利用了行列式的线性变化性质 同理，三角形的面积用直角坐标表示为：
1 xi 1 A 1 xj 2 1 xk
yi yj yk
12
三角形的面积坐标
定义：三角形的面积坐标为
i
Li Ai / A; L j Aj / A; Lk Ak / A
面积坐标的特点：
（1）三个角点的面积坐标分别为
ij Cijkl kl i, j 1,2,3
{σ} [ D]{ε}
E 1 2 E [ D] 1 2 0
E 0 2 1 E 0 2 1 0 G
1 1 E (1 ) 1 [ D] (1 )(1 2 ) 0 0 0
1 y 2 1 x 3
1 1 x1 y1 u1 u 1 x y 2 2 2 2 1 x y u 3 3 3 3
1 x1 y 1 x2 1 x3 y1 y2 y3
2(j) 1(i) 线性插值—平面 对节点1：
u1 1 2 x1 3 y1 v1 1 2 x1 3 y1
u2 1 2 x2 3 y2 v2 1 2 x2 3 y2
u3 1 2 x3 3 y3 v3 1 2 x3 3 y3

ui i vi
B
16
单元应变矩阵
对位移函数
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (a m bm x cm y)u m ] 2A 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
U V 令
1 T T D d p u ds, 为三角形, S p 为三个顶点 S p 2 u ( x, y, z ) N a , ( x, y , z ) B a
代入, a 0