数字电子技术——数制与编码

数码个数8个： 0,1,2,3,4,5,6,7
计数规律: 逢八进 1,借一当 8
例：
(176.5)8 = 182+781 +680 +58-1 ＝1(10)2+7(10)1 +6 (10)0+5(10)-1
⒊ R＝16 十六八进制
数码个数16个： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
§2 数制转换
说明：
⒈ 转换是任意的。
⒉ 方法：多项式替代法 α→10
基数乘除法 10→ α
混合法
α → 10→ β
直接转换法 α＝βK ，α K ＝β
一、多项式替代法 （R→10）
例1：
(11011.11)2 = ( )10 =124+123 +022+121+120 +12-1 +12-2 =(27.75)10
定因素
⒉ 计数法
• 位置计数法 例：123.45 读作 一百二十三点四五 • 按权展开式 例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2 • 按权展开通式
(N)10 = an-110n-1+an-210n-2 +…+ a1101+a0100 +a-1 10-1+a-210-2+…+a-m10-m
例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2
数位不同，权值不同。
二、 其它进制
其它进制的计数规律可看成是十进制计数制 的推广，对任意进制 R，数N可以表示成按权展 开式：
(N) R=(an-1 an-2 … a1 a0. a-1 a-2… a-m)R
(N)R = an-1R n-1+an-2R n-2 +…+ a1R1+a0R0
+a-1 R-1+a-2R-2+…+a-mR-m
n 1
ai Ri
im
⒈ R＝2 二进制
数码个数2个：0,1
计数规律:
例：
逢二进 1,借一当 2
权值一般 用十进制
表示
(11011.01)2 = 124+123 +022+121+120 +02-1 +12-2 ＝1(10)100+1(10)11 +0(10)10+1(10)1+1 (10)0
nR=3×10=30
R=2时,为使 2n≥1000 n=10 ( Rn=1024),
nR=10×2=20
同样为1000的信息量，二进制比十进制节省设备。
2）唯一性证明
N=Rn （N为最大信息量） LnN=nLnR 令C=LnN C=nLnR
两边同乘R，RC=nRLRnR=e=2.718 可求得:
⒉ R＝8 八进制
几种常用数制的表示方法：
R＝10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二进制 0 1 10 11
100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
例 2： = ( 36 ) 16
⒉小数的转换——基数乘法
规则：乘基取整，满足精度要求为止
例 3： (0.125) 10 = ( ) 2 例 4： (0.125) 10 = ( ) 4 解： (0.125) 10 = (0.001 ) 2 ， (0.125) 10 = ( 0.02) 4 例 5： (29.93) 10 = ( ) 2 解： (29.93) 10 = ( 11101.111011) 2
⒊ 小数的精度
若求出的是有限位小数，标明已求出准确的转换小数； 若求出的是无限位小数，标明转换出的小数存在误差。
取数原则： ⑴等精度转换；⑵按题意要求
⑴等精度转换
设α进制有 i位小数，转换后β进制有 j位小数。
(0.0…01)α= (1×α-i)10 α位
(0.0…01)β = (1×β-j)10 β位
⑴等精度转换(续)
转换后应使： 1×β-j ≤1×α-I 即 αI ≤ βj
故 j i lg 取满足不等式的最小整数 lg
例: (0.3021)10→(
)16
，已知精度为±(0.1)
4 10
解： α＝10，β＝16，I＝4
第一章 数制与编码
主要内容 ⒈各种进位计数制及其相互转换 ⒉带符号数的表示方法 ⒊常用的一般编码
§1 进位计数制
数 制： 计数体制、计数方法。 进位计数制：高位进位，本位归0。
一、 十进制数的表示
⒈ 数码个数10个： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
计数规律:
逢十进 1,借一当10
数码的个数 和计数规律 是进位计数 制的两个决
(0 … … …
10 … … 15)
计数规律: 逢十六进 1,借一当 16
例：
(FA1.C)16 = F162+A161 +1160 +C16-1
＝F(10)2+A(10)1 +1 (10)0+C(10)-1
⒋ 其它进制
如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。 书P5 表1.1.1所列各进制对应值要求熟记。
• 和式
n 1
(N )10
ai 10i
im
⒊ 基与基数
用来表示数的数码的集合称为基（0—9）, 集合的大小 称为基数(十进制为10)。
即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基 数，也叫模。
⒋ 权 在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。
即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值， 位置不同显示的数值大小不同。
+ 0(10)-1 +1(10)-10
二进制数的特点:
• 只有两个数码, 很容易用物理器件来实现。 • 运算规则简单。 • 可使用逻辑代数这一数学工具。 • 节省设备
节省设备的说明:
1）设n是数的位数
R是基数
Rn-----最大信息量
nR-----Rn个数码所需设备量
例：n=3，R=10，(R)10n=103=1000
16 8 0 2 1 0.5 0.25
例2：
(321.4)8 = ( )10 =382+281+180 +48-1 =(209.5)10
192 16 1 0.5
二、基数乘除法（ 10 → R ）
⒈整数的转换——基数除法
规则：除基取余，商零为止
例 1： (25) 10 = ( ) 2 解： (25) 10 = (11001 ) 2