柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等
式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，
正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明
二维形式
在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式
()()
()2
2222
bd ac d c b a
+≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //==
扩展：(
)()()2
2222
22221231
23112233n
n n n a a a a b
b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+
等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫
==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭
当或时，和都等于，不考虑
二维形式的证明：
()()()
()()()
2
22222222222
222222222
2
2,,,220=a
b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立
三角形式
ad bc
≥
=等号成立条件：
三角形式的证明：
()(
)
2
2222222222222
2
22-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥
注：表示绝对值
222111n
n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
∑∑∑
向量形式
()()()
()
123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或
向量形式的证明：
()()
123123112233222
22
123222
222
22
112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n n
m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m n
a b b b b m n
m n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=+++
+==+
++++
+≤∴+++
+≤+++
++++
+令
一般形式 2
112
12⎪⎭
⎫
⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n
k k n
k k b a b a
1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

一般形式的证明：
2
112
12⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n
k k n k k b a b a 证明：
()()()()()222222=/2=/2i j j i i i j j j j i i a b a b n a b a b a b a b n ++
+
⋅+⋅++
≥不等式左边共项
不等式右边共项
用均值不等式容易证明，不等式左边不等式右边，得证。

附：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： ()2
2211n n b a b a b a +++ (
)()2
222212
22
22
1n
n
b b b
a a a ++++++≤ ()n i R
b a i
i 2,1,=∈
等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数 ()()()2
2
222
11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=
=(
)()()22
222
121122122n
n
n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++
+++++++++
22
120n
n a a a ++
+≥
()0f x ∴≥恒成立
()()()2
22
2211221212440n
n
n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=++
+-++
+++
+≤
即()()()2
22
2211221212n
n
n n n n a b a b a b a a a b b b ++
+≤+++++
+
当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即
12
12
n
n
a a a
b b b ===
时等号成立
证明2:数学归纳法
（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()2
11a b 显然 左式=右式 当
2n =时， 右式 ()()()()2
2
22
222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++
()()()222
1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式
仅当即 2112a b a b = 即
12
12
a a
b b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立
（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2
22
2211221212k
k k k k k a b a b a b a a a b b b ++
+≤++
+++
+
当 i i ka b =，k 为常数，1,2
i n = 或120k a a a ====时等号成立
设22
2
12k a a a A ===
= 22212k b b b B ==== 1122
k k C a b a b a b =+++
则(
)()2
22221
1
111k k k k k a b b
a b +++++A +B +=AB +A +
()2
222
1111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+
(
)()2
2
222
2
2
2
1211
2
1
k k k
k
a a a a
b b b b ++∴++
++++++
()2
112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++
当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==
==时等号成立
即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立
二、柯西不等式的应用
1、巧拆常数证不等式
例1、设a 、b 、c 为正数且互不相等。

求证：
证明：将a+b+c
移到不等式的左边，化成：
=
又
a b
c 、、
互不相等，所以不能取等
∴原不等式成立，证毕。

附用基本不等式证 设 ，则所证不等式等价于。

因为。

所以上式显然成立。

2、求某些特殊函数最值
例2、
y =
求函数 函数的定义域为[5，9],y>0
5*210
6.44y x =≤
===函数仅在时取到
3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()
2
2
0A +B ≠
例3、设点p 是直线l 上的任意一点， 则
0x x C A +B +=
（1）
12p p =
（2）
点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有
()()0101x x y y ≥A -+B -
()0011x y C x y C A +B +-A +B +
由（1）（2）得：
1200p p x y C ≥A +B + 即
12p p ≥
（3）
当且仅当 ()()0101:y y x x B
--=A
12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式
即 12p p =
4、 证明不等式
例 4、已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明：利用柯西不等式
()
2
313131
2
2
22222222a
b c
a a
b b
c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
[]222333222a b c a b c ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2
333a b c a b c =++++
()1a b c ++=
又因为 2
2
2
a b c a b b c c a
++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2
2
2
a b c ++得：
()()2223a b c a b c ++≤++
()()()2
2223332223a b c a b c a b c ++≤++∙++
故2223
3
3
3
a b c a b c ++++≥
5、 解三角形的相关问题
例 5、设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半
≤
证明：由柯西不等式得，
=111
a b c
≤++记S 为ABC 的面积，则22
42abc abc
ax by cz S R R
++===
≤
=≤
故不等式成立。

6、 求最值
例6、已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 2222
2365a b c d +++=试求a 的最值 解：由柯西不等式得，有(
)()2
222
111236236b c d
b c d ⎛⎫
++++≥++ ⎪⎝⎭
即()2
2
2
2
236b c d b c d ++≥++由条件可得， ()2
2
53a a -≥-
解得，12a ≤≤
==
时等号成立， 代入11
1,,36b c d ===时， max 2a = 21
1,,33
b c d ===时 min 1a =
7、利用柯西不等式解方程
例6、在实数集内解方程222
94
862439
x y z x y y ⎧++=⎪
⎨⎪-+-=⎩ 解：由柯西不等式，得
()()()()222
2
22286248624x
y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦
①
(
)()
()2
2
222
28624x y z
⎡⎤++-++-⎣⎦
()29
64364144394
=⨯++⨯= 又()2
2
862439x y y -+-=
()()()()222
2
22286248624x
y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣⎦
即不等式①中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
8624
x y z
==
-- 它与862439x y y -+-=联立，可得 613x =- 926y =
18
13
z =-
8、关于不等式2
2
2
2
2
)())((bd ac d c b a +≥++的几何背景
几何背景：如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(， 则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=
.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理22
2
2
⋅-+=OP OQ OP PQ 2
222cos d
c b a bd
ac +⋅++=
θ或.))(()(cos 22222
2
d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02
≤≤θ，所以，1)
)(()(2
2222
≤+++d c b a bd ac ， 于是 2
2
2
2
2
)())((bd ac d c b a +≥++.
柯西不等式的相关内容简介
（1） 赫尔德(Holder)不等式
)11
1(
)()(2211121121=++++≥++++++q
p b a b a b a b b b a a a n n q
q
n q
q
p
p
n p
p
当2==q p 时，即为柯西不等式。

因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。

（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）
2
2222112
222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维形式2222112
22
12
22
1)()(b a b a b b a a +++≥
+++来理解，
根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。

该不等式的一般形式
p
p n n p p p p
n p p p
p
n p p b a b a b a b b b a a a 122111211
21]
)()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式。

它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为
p
n
i
p
i i
y x
y x 1)(
),(∑-=ρ.
闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。

这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。