第六章 虚拟变量回归
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• 例如，反映文程度的虚拟变量可取为： 1， 本科学历 D= 0， 非本科学历
一般地，在虚拟变量的设置中：
• 基础类型、肯定类型取值为1； • 比较类型，否定类型取值为0。
4
概念： 同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟 变 量 模 型 或 者 方 差 分 析 （ analysis-of variance: ANOVA）模型。 一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的模型：
Yi 0 1 X i 2 Di i
其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。
5
二、虚拟变量的引入
• 虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式： 加法方式和乘法方式。
1、加法方式
上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引入采 取了加法方式。
Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error C 2673.667 233.0446 SEX2 503.1667 329.5749 R-squared 0.189026
性别赋值：男性=1，女性=0；
t-Statistic 11.47277 1.526714 Prob. 0.0000 0.1578
•女职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 1) ( 0 3 ) 1 X i
•男职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 1) ( 0 2 3 ) 1 X i
15
2、乘法方式 • 加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同，
1979~2001 年中国居民储蓄与收入数据（亿元） GNP 90年后 储蓄 4038.2 1991 9107 4517.8 1992 11545.4 4860.3 1993 14762.4 5301.8 1994 21518.8 5957.4 1995 29662.3 7206.7 1996 38520.8 8989.1 1997 46279.8 10201.4 1998 53407.5 11954.5 1999 59621.8 14922.3 2000 64332.4 16917.8 2001 73762.4 18598.4
反常年份：
E(Ct | X t , Dt 0) 0 1 X t
18
当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加 法与乘法形式的虚拟变量。 • 例5.1.1，考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收 入关系是否已发生变化。
表5.1.1中给出了中国1979~2001年以城乡储蓄存 款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表的居民收入 的数据。
大学教育 保健 支出 高中教育 低于中学教育
收入
13
• 可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定性” 因素的影响。
例4：如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历 的虚拟变量D2：
1 D2 0
本科及以上学历
本科以下学历
1 男性 D1 0 女性
职工薪金的回归模型可设计为：
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
（6-23） 被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别、税后收入*性别
25
1、写出（6-23）的估计方程。
2、进一步写出男性、女性的估计方程。
3、解释偏回归系数含义。
26
（6-24）
Dependent Variable: Y Variable Coefficient C
INCOME
Std. Error 248.4782 0.008349 350.7645 0.012988
• 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化”，
2
四種测量的分类模式 连续的or定距的
interval
定量的 离散的 次序的ordinal
分类变量
定性的
名义的nominal
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来 完成的。根据这些因素的属性类型，构造只取“0” 或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量（dummy variables），记为D。
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) ( 0 2 ) 1 X i
• 大学及其以上： E(Yi | X i , D1 0, D2 1) ( 0 3 ) 1 X i 假定3>2，其几何意义：
1 D1 0 高中 其他 1 D2 0 大学及其以上 其他
模型可设定如下： Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
12
在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大学 及其以上教育水平下个人保健支出的函数：
• 高中以下： • 高中：ห้องสมุดไป่ตู้
22
将n1与n2次观察值合并，并用以估计以下回归：
Yi 0 1 X i 3 Di 4 ( Di X i ) i
Di为引入的虚拟变量：
1 Di 0
90年前 90年后
于是有： E(Yi | Di 0, X i ) 0 1 X i
E(Yi | Di 1, X i ) ( 0 3 ) ( 1 4 ) X i
2
0
7
例题6-1：男女食品支出和税后收入的关系。P134
（6-4）被解释变量：食品支出； 解释变量：性别 （6-9）被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别
（6-23） 被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别、税后收入*性别
8
1、分别写出（6-4）、（6-9）的估计方程。
2、进一步写出男性、女性的估计方程。
19
表 5.1.1 90年前 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 储蓄 281 399.5 523.7 675.4 892.5 1214.7 1622.6 2237.6 3073.3 3801.5 5146.9 7034.2
可分别表示1990年后期与前期的储蓄函数。
23
在统计检验中，如果4=0的假设被拒绝，则说 明两个时期中储蓄函数的斜率不同。 • 具体的回归结果为： ˆ Yi 15452 0.8881 i 138023Di 0.4765 i X i X . D
(-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55)
t-Statistic 5.765404 7.376091 -0.193558 -0.484595
Prob. 0.0004 0.0001 0.8513 0.6410
SEX XD
1432.577 0.061583 -67.89322 -0.006294
R-squared
0.930459
27
• 相得益彰。恐怖片，画面与配乐，效果陡增。 • In this model gender性别 and race種族 are qualitative regressors and education is a quantitative regressor. Implicit 暗示 in this model is the assumption假定 that the differential effect of the gender dummy D2 is constant常数 across the two categories of race and the differential effect of the race dummy D3 is also constant across the two sexes. That is to say, if the mean salary is higher for males than for females, this is so whether they are nonwhite/non-Hispanic or not. Likewise, if, say, nonwhite/non-Hispanics have lower mean wages, this is so whether they are females or males.
14
于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为：
•女职工本科以下学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
•男职工本科以下学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) ( 0 2 ) 1 X i
3、根据估计结果，解释偏回归系数含义。
9
（6-4）被解释变量：食品支出；解释变量：性别
性别赋值：男性=0，女性=1；
t-Statistic 13.63187 -1.526714 Prob. 0.0000 0.1578
Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error C 3176.833 233.0446 SEX -503.1667 329.5749 R-squared 0.189026
第六章 虚拟变量回归
一、虚拟变量的基本含义 二、虚拟变量的引入 三、虚拟变量的设置原则
1
一、虚拟变量的基本含义
• 许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需求 量、价格、收入、产量等 • 但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量， 如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害 对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售 的影响等等。
R 2 =0.9836
由3与4的t检验可知：参数显著地不等于0，强 烈示出两个时期的回归是相异的，
储蓄函数分别为：
1990年前：
ˆ Yi 16497 0.4116X i .
ˆ Yi 15452 0.8881 i X
24
1990年后：
例题6-1：男女食品支出和税后收入的关系。
（6-4）被解释变量：食品支出； 解释变量：性别 （6-9）被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别
GNP 21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88228.1 94346.4
20
以Y为储蓄，X为收入，可令：
• 1990年前： Yi=1+2Xi+1i i=1,2…,n1
• 1990年后： Yi=1+2Xi+2i i=1,2…,n2 则有可能出现下述四种情况中的一种： (1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为重合回 归（Coincident Regressions）； (2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其截距， 称为平行回归（Parallel Regressions）; (3) 1=1 ，但22 ，即两个回归的差异仅在其斜率， 称为汇合回归(Concurrent Regressions)； (4) 11，且22 ，即两个回归完全不同，称为相 异回归（Dissimilar Regressions）。 21
• 许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、截 距同时发生变化。
• 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来
测度。
16
例5：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入 水平Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾向会发 生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年份，消 费倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过 在收入的系数中引入虚拟变量来考察。
Yi 0 1 X i 2 Di i
企业女职工的平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 0) 0 1 X i
企业男职工的平均薪金为： E(Yi | X i , Di 1) ( 0 2 ) 1 X i
6
几何意义：
• 假定2>0，则两个函数有相同的斜率，但有不同 的截距。意即，男女职工平均薪金对工龄的变化 率是一样的，但两者的平均薪金水平相差2。 • 可以通过传统的回归检验，对2的统计显著性进 行检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是 否有显著差异。
17
如，设
1 Dt 0
正常年份 反常年份
消费模型可建立如下：
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。 • 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
正常年份：
E(Ct | X t , Dt 1) 0 ( 1 2 ) X t
t-Statistic
8.011529 9.641745 -2.138899
Prob.
0.0000 0.0000 0.0611
0.928418
11
例2：在横截面数据基础上，考虑个人保健支出对 个人收入和教育水平的回归。
教育水平考虑三个层次：高中以下， 高中， 大学及其以上
这时需要引入两个虚拟变量：
10
（6-9）被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别
Dependent Variable: Y
Variable Coefficient
C 1506.244 INCOME 0.058982 SEX -228.9868 R-squared
Std. Error
188.0096 0.006117 107.0582
一般地，在虚拟变量的设置中：
• 基础类型、肯定类型取值为1； • 比较类型，否定类型取值为0。
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概念： 同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟 变 量 模 型 或 者 方 差 分 析 （ analysis-of variance: ANOVA）模型。 一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的模型：
Yi 0 1 X i 2 Di i
其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。
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二、虚拟变量的引入
• 虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式： 加法方式和乘法方式。
1、加法方式
上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引入采 取了加法方式。
Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error C 2673.667 233.0446 SEX2 503.1667 329.5749 R-squared 0.189026
性别赋值：男性=1，女性=0；
t-Statistic 11.47277 1.526714 Prob. 0.0000 0.1578
•女职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 1) ( 0 3 ) 1 X i
•男职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 1) ( 0 2 3 ) 1 X i
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2、乘法方式 • 加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同，
1979~2001 年中国居民储蓄与收入数据（亿元） GNP 90年后 储蓄 4038.2 1991 9107 4517.8 1992 11545.4 4860.3 1993 14762.4 5301.8 1994 21518.8 5957.4 1995 29662.3 7206.7 1996 38520.8 8989.1 1997 46279.8 10201.4 1998 53407.5 11954.5 1999 59621.8 14922.3 2000 64332.4 16917.8 2001 73762.4 18598.4
反常年份：
E(Ct | X t , Dt 0) 0 1 X t
18
当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加 法与乘法形式的虚拟变量。 • 例5.1.1，考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收 入关系是否已发生变化。
表5.1.1中给出了中国1979~2001年以城乡储蓄存 款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表的居民收入 的数据。
大学教育 保健 支出 高中教育 低于中学教育
收入
13
• 可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定性” 因素的影响。
例4：如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历 的虚拟变量D2：
1 D2 0
本科及以上学历
本科以下学历
1 男性 D1 0 女性
职工薪金的回归模型可设计为：
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
（6-23） 被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别、税后收入*性别
25
1、写出（6-23）的估计方程。
2、进一步写出男性、女性的估计方程。
3、解释偏回归系数含义。
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（6-24）
Dependent Variable: Y Variable Coefficient C
INCOME
Std. Error 248.4782 0.008349 350.7645 0.012988
• 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化”，
2
四種测量的分类模式 连续的or定距的
interval
定量的 离散的 次序的ordinal
分类变量
定性的
名义的nominal
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来 完成的。根据这些因素的属性类型，构造只取“0” 或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量（dummy variables），记为D。
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) ( 0 2 ) 1 X i
• 大学及其以上： E(Yi | X i , D1 0, D2 1) ( 0 3 ) 1 X i 假定3>2，其几何意义：
1 D1 0 高中 其他 1 D2 0 大学及其以上 其他
模型可设定如下： Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
12
在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大学 及其以上教育水平下个人保健支出的函数：
• 高中以下： • 高中：ห้องสมุดไป่ตู้
22
将n1与n2次观察值合并，并用以估计以下回归：
Yi 0 1 X i 3 Di 4 ( Di X i ) i
Di为引入的虚拟变量：
1 Di 0
90年前 90年后
于是有： E(Yi | Di 0, X i ) 0 1 X i
E(Yi | Di 1, X i ) ( 0 3 ) ( 1 4 ) X i
2
0
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例题6-1：男女食品支出和税后收入的关系。P134
（6-4）被解释变量：食品支出； 解释变量：性别 （6-9）被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别
（6-23） 被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别、税后收入*性别
8
1、分别写出（6-4）、（6-9）的估计方程。
2、进一步写出男性、女性的估计方程。
19
表 5.1.1 90年前 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 储蓄 281 399.5 523.7 675.4 892.5 1214.7 1622.6 2237.6 3073.3 3801.5 5146.9 7034.2
可分别表示1990年后期与前期的储蓄函数。
23
在统计检验中，如果4=0的假设被拒绝，则说 明两个时期中储蓄函数的斜率不同。 • 具体的回归结果为： ˆ Yi 15452 0.8881 i 138023Di 0.4765 i X i X . D
(-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55)
t-Statistic 5.765404 7.376091 -0.193558 -0.484595
Prob. 0.0004 0.0001 0.8513 0.6410
SEX XD
1432.577 0.061583 -67.89322 -0.006294
R-squared
0.930459
27
• 相得益彰。恐怖片，画面与配乐，效果陡增。 • In this model gender性别 and race種族 are qualitative regressors and education is a quantitative regressor. Implicit 暗示 in this model is the assumption假定 that the differential effect of the gender dummy D2 is constant常数 across the two categories of race and the differential effect of the race dummy D3 is also constant across the two sexes. That is to say, if the mean salary is higher for males than for females, this is so whether they are nonwhite/non-Hispanic or not. Likewise, if, say, nonwhite/non-Hispanics have lower mean wages, this is so whether they are females or males.
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于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为：
•女职工本科以下学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
•男职工本科以下学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) ( 0 2 ) 1 X i
3、根据估计结果，解释偏回归系数含义。
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（6-4）被解释变量：食品支出；解释变量：性别
性别赋值：男性=0，女性=1；
t-Statistic 13.63187 -1.526714 Prob. 0.0000 0.1578
Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error C 3176.833 233.0446 SEX -503.1667 329.5749 R-squared 0.189026
第六章 虚拟变量回归
一、虚拟变量的基本含义 二、虚拟变量的引入 三、虚拟变量的设置原则
1
一、虚拟变量的基本含义
• 许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需求 量、价格、收入、产量等 • 但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量， 如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害 对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售 的影响等等。
R 2 =0.9836
由3与4的t检验可知：参数显著地不等于0，强 烈示出两个时期的回归是相异的，
储蓄函数分别为：
1990年前：
ˆ Yi 16497 0.4116X i .
ˆ Yi 15452 0.8881 i X
24
1990年后：
例题6-1：男女食品支出和税后收入的关系。
（6-4）被解释变量：食品支出； 解释变量：性别 （6-9）被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别
GNP 21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88228.1 94346.4
20
以Y为储蓄，X为收入，可令：
• 1990年前： Yi=1+2Xi+1i i=1,2…,n1
• 1990年后： Yi=1+2Xi+2i i=1,2…,n2 则有可能出现下述四种情况中的一种： (1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为重合回 归（Coincident Regressions）； (2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其截距， 称为平行回归（Parallel Regressions）; (3) 1=1 ，但22 ，即两个回归的差异仅在其斜率， 称为汇合回归(Concurrent Regressions)； (4) 11，且22 ，即两个回归完全不同，称为相 异回归（Dissimilar Regressions）。 21
• 许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、截 距同时发生变化。
• 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来
测度。
16
例5：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入 水平Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾向会发 生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年份，消 费倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过 在收入的系数中引入虚拟变量来考察。
Yi 0 1 X i 2 Di i
企业女职工的平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 0) 0 1 X i
企业男职工的平均薪金为： E(Yi | X i , Di 1) ( 0 2 ) 1 X i
6
几何意义：
• 假定2>0，则两个函数有相同的斜率，但有不同 的截距。意即，男女职工平均薪金对工龄的变化 率是一样的，但两者的平均薪金水平相差2。 • 可以通过传统的回归检验，对2的统计显著性进 行检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是 否有显著差异。
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如，设
1 Dt 0
正常年份 反常年份
消费模型可建立如下：
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。 • 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
正常年份：
E(Ct | X t , Dt 1) 0 ( 1 2 ) X t
t-Statistic
8.011529 9.641745 -2.138899
Prob.
0.0000 0.0000 0.0611
0.928418
11
例2：在横截面数据基础上，考虑个人保健支出对 个人收入和教育水平的回归。
教育水平考虑三个层次：高中以下， 高中， 大学及其以上
这时需要引入两个虚拟变量：
10
（6-9）被解释变量：食品支出； 解释变量：税后收入、性别
Dependent Variable: Y
Variable Coefficient
C 1506.244 INCOME 0.058982 SEX -228.9868 R-squared
Std. Error
188.0096 0.006117 107.0582