定积分的几何应用例题与习题

2

V

2 3

1、曲线 的极坐标方程

1 cos ,(0

-),求该曲线在

2

直角坐标方程，并求曲线 、切线L 与x 轴所围图形的面积。

设直线y ax 与抛物线y 面积为5,并且a 1 (1) 试确定a 的值，使S —所对应的点处的切线L 的 4

2、 x 2所围成的面积为S-i ,它们与直线x 1所围成的 (2) 求该最小值所对应的平面图形绕

S 2达到最小，并求出最小值； x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 3、 设xoy 平面上有正方形D (x, y) 0 x 1,0 y 1及直线L: x y t(t 0) x 若S(t)表示正方形D 位于直线I 左下部分的面积，

试求S(t)dt(x 0) 0 4、

求由曲线y e % J|sinx|(x 0)与x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积 V 3 - x acos t 5、求由曲线 3 (a y asin t 0,4 绕X 轴旋转所得立体的全表面积。 t )与直线y=x 及y 轴所围成的图形 2 11 2 2、

(S=( ) a ) 5 40

x x

- -—与直线x 0, x 2 形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t),侧面积为S(t),在x t 处的底面积为F(t)

(1)求型的值;(2)计算极限

V(t) 抄

2,lim

V(t) t

6.曲线y t(t 0)及y 0围成一曲边梯形，该曲边梯 S(t) F(t) S(t) F(t)

7、求由摆线x=a(t 及该平面图形分别绕 (1)A 3 a 2

, cost)的一拱(0 t 2 )与横轴所围成的平面图形的面积, sin t),y= a(1 x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积

⑵V x

o 5 2a 3 , (3)V y 6 3a 3

8、设平面图形 旋转体的体积。

2x 及y x 所确定，求图形A 绕直线x 2旋转一周所得

3

V

9设函数 f(x),g(x)可微，且 f (x) g(x), g(x) f(x), f(0) 0,g(x) 0.

求：1)F(x)丄©;(2)作出函数曲线y F(x)的图形；(3)计算由曲线y F(x)及直线 g(x) x 0,x b(b 0)和y 1围成的面积•

(1) F(x) 1 1.

e 1

(2) 当x 0时，F"(x) 0,曲线上凸；当x 0时，F"(x) 0,曲线下凹， 所以(0,0)为拐点，且y 1为其水平渐近线.

b b 2

(3) S 0

(1 F(x))dx 0p dx 2b ln2 In (2 b 1).

0 0

e 1

10.已知曲线y a . x,( a 0)与曲线y In ■■、x 在点(x 0

,y 0

)处有公共切线，求

(1常数a 及切点(X 0,y °)；

两曲线与x 轴围成的平面图形的面积；

两曲线与X 轴围成的平面图形绕 a -,切点(e 2

,1) e

4

，问这个图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为最小值时,

9

值应为多少？

5

,b 2,c 0

13、过点P(1,0)作抛物线y x 2的切线，该切线与上述抛物线及 X 轴围成一平面图形

(如图)，求此图形绕 X 轴旋转所成旋转体的体积。

x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x

1 2 e 6 (1 ⑶V

x - x

y e 2

11. 对于指数曲线 (1) 试在原点与x(x 0)之间找一点 部分的面积相等，并写出 (2) 求 lim ?

x 0

x

x

xe" 2e 2

2

x

x(e 2

12、 抛物线y ax 2

x(0

1),使这点左右两边有阴影

1)

bx 的表达式。

lim

x 0

C 通过点 (0,0)， 且当0

1时，y 0,它和直线x 1及y 0所围的

图形的面积是 a , b 与 c 的

2

3

x 2交于点A,过坐标原点o 和点A 的直线与曲线 a

为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体

积

x

，x 轴，y 轴和直线x ( 0)所围成平面图形绕 x 轴旋转一周,

1

求此旋转体体积 V()；并求满足V(a) lim V()的a ；

(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求 出该面

积•

17.过点(1,5)作曲线 ：y (1) 求L 的方程；

(2) 求 与L 所围平面图形D 的面积; (3) 求图形D 的x

14.设曲线y ax 2(a 0,x 0)与y 1 y ax 2

围成一平面图形，问 最大？最大体积 是多少？

15、设曲线方程为

a 4, V 最大

e x (x 0)

32_5 1875

(1)把曲线y

(1) a

如2. (2) (1,

1

)，最大面积

S

冷1 2e1

16.求由曲线 (A min In x 直线x y 2 2ln2 3ln3)

1,x 3及曲线上方任一直线围成面积的最小值

得一旋转体, x 3的切线L,

y 3x 2; S 18.求由

2x 与

264 7

x 所围区域绕x 2旋转一周所得旋转体的体积。

19.求由曲线y sin x(0 所生成的旋转体的体积。 )和X 轴所围成的平面图形绕直线 x 旋转

解：V 二 2 (

0 '

x)sin xdx

20.已知a, b 满足

1

x dx ,(a b),求曲线y x 2 ax 与直线y

bx 所围区域的面积的

0的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积。