数列极限的性质
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且
N
当n > N 时，有 x n
推论 对一切正整数
n→∞
lim xn = x ，则
n ，x n > 0 (或xn < 0) x ≥ 0 (或x < 0)
5.运算性质 运算性质
lim 定理5 定理 若 n →∞ a n = a ， lim bn = b ，则 n →∞
1） ） 2） ） 3） ）
lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn = a ± b
小结
收敛数列的性质:有界性，唯一性，保号性等 收敛数列的性质:有界性，唯一性，
练 习 题
有界， 证明： 设数列 x n 有界，又 lim y n = 0 ，证明： lim x n y n = 0 .
n→ ∞ n→ ∞
xn1 , xn2 ,LL, xnk ,LL
在{ xnk }中，xnk 是第k项，而 xnk 在{ xn }中是第 nk 项， 显然nk ≥ k
定理2 若数列xn 收敛于a ，则它的任一子数列 定理2 也收敛， 也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关 系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的 由此可知， 极限值， 一定是发散的。 极限值，则xn一定是发散的。
并且 r ≤ s , ak , bk 都是与无关的数 , a0 , b0都不为 0
6.运算性质 运算性质
定理6 定理 设
Α
是非空有上界数集 ，且 且
c = supΑ
推论
设
Α
是非空有界集 ， = supΑ Α ，则 c
n →∞
存在互不相同的数列， 存在互不相同的数列，{a n }(a n ∈ A) 使得 lim a n = c
3.有界性 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自
然数 n, 恒有 x n ≤ M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 例如 数列 x n = ; 有界 数列 x n = 2 n .无界 n+1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
Baidu Nhomakorabea
定理3 收敛的数列必定有界. 定理 收敛的数列必定有界. 证明： 证明： 注意：有界性是数列收敛的必要条件 注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论
无界数列必定发散. 无界数列必定发散.
4.保号性 保号性
定理4 定理 若 lim xn = x, x > 0
n→∞
(或x < 0) ，则存在正整数
> 0 (或xn < 0)
n →∞ n →∞ n →∞
lim ( ka n ) = k lim a n = ka 其中k为常数
liman bn = liman limbn = a b
n→∞ n→∞ n→∞
n →∞
n →∞
n →∞
4） lim a n = a ）
bn
b
这里 lim bn = b ≠ 0
n →∞
a0n r + a1n r 1 + L + ar 例3 求 lim , 这里r , s均为正整数 s s 1 n→∞ b0 n + b1n + L + bs
数列极限的性质
1.唯一性 唯一性
定理1 定理1 证明 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.
例1 证明数列 n = (1)n+1是发散的 x .
在数列 {xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在 中任意抽取无限多项并保持这些项在 原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列： 原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：
如xn = ( 1)n+1 { x2 k 1 }收敛于1 { x2 k }收敛于 1
例2
对于数列x 对于数列 n， 若x2k →a(k →∞)
x2k+1 → a(k → ∞) 则xn →a(n →∞)
对数列{ xn }：若子数列{ x p | p ∈ A}与{ xq | q ∈ B } (其中AU B = N )趋于同一极限值 a ( p, q → ∞ ) 则xn → a ( n → ∞ )
N
当n > N 时，有 x n
推论 对一切正整数
n→∞
lim xn = x ，则
n ，x n > 0 (或xn < 0) x ≥ 0 (或x < 0)
5.运算性质 运算性质
lim 定理5 定理 若 n →∞ a n = a ， lim bn = b ，则 n →∞
1） ） 2） ） 3） ）
lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn = a ± b
小结
收敛数列的性质:有界性，唯一性，保号性等 收敛数列的性质:有界性，唯一性，
练 习 题
有界， 证明： 设数列 x n 有界，又 lim y n = 0 ，证明： lim x n y n = 0 .
n→ ∞ n→ ∞
xn1 , xn2 ,LL, xnk ,LL
在{ xnk }中，xnk 是第k项，而 xnk 在{ xn }中是第 nk 项， 显然nk ≥ k
定理2 若数列xn 收敛于a ，则它的任一子数列 定理2 也收敛， 也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关 系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的 由此可知， 极限值， 一定是发散的。 极限值，则xn一定是发散的。
并且 r ≤ s , ak , bk 都是与无关的数 , a0 , b0都不为 0
6.运算性质 运算性质
定理6 定理 设
Α
是非空有上界数集 ，且 且
c = supΑ
推论
设
Α
是非空有界集 ， = supΑ Α ，则 c
n →∞
存在互不相同的数列， 存在互不相同的数列，{a n }(a n ∈ A) 使得 lim a n = c
3.有界性 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自
然数 n, 恒有 x n ≤ M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 例如 数列 x n = ; 有界 数列 x n = 2 n .无界 n+1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
Baidu Nhomakorabea
定理3 收敛的数列必定有界. 定理 收敛的数列必定有界. 证明： 证明： 注意：有界性是数列收敛的必要条件 注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论
无界数列必定发散. 无界数列必定发散.
4.保号性 保号性
定理4 定理 若 lim xn = x, x > 0
n→∞
(或x < 0) ，则存在正整数
> 0 (或xn < 0)
n →∞ n →∞ n →∞
lim ( ka n ) = k lim a n = ka 其中k为常数
liman bn = liman limbn = a b
n→∞ n→∞ n→∞
n →∞
n →∞
n →∞
4） lim a n = a ）
bn
b
这里 lim bn = b ≠ 0
n →∞
a0n r + a1n r 1 + L + ar 例3 求 lim , 这里r , s均为正整数 s s 1 n→∞ b0 n + b1n + L + bs
数列极限的性质
1.唯一性 唯一性
定理1 定理1 证明 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.
例1 证明数列 n = (1)n+1是发散的 x .
在数列 {xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在 中任意抽取无限多项并保持这些项在 原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列： 原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：
如xn = ( 1)n+1 { x2 k 1 }收敛于1 { x2 k }收敛于 1
例2
对于数列x 对于数列 n， 若x2k →a(k →∞)
x2k+1 → a(k → ∞) 则xn →a(n →∞)
对数列{ xn }：若子数列{ x p | p ∈ A}与{ xq | q ∈ B } (其中AU B = N )趋于同一极限值 a ( p, q → ∞ ) 则xn → a ( n → ∞ )