结构力学专题九(阻尼对振动的影响)
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§10-2 单自由度体系的动力计算
§10.2.3 阻尼对振动的影响 二、阻尼对自由振动的影响
1、运动方程的解
y(t)
c m
y(t)
k m
y(t)
0
设: c 得 2 m
y(t) 2y(t) 2 y(t) 0
Cr 2m 2 km 与体系自身特性有关
C Cr
表示阻尼系数与临界阻尼系数的比值, 称为阻尼比.
由公式 y(t) ce t sin( rt ) 知
yk yk 1
e t e (t Tr )
e Tr
ln 1
yk
2
y k 1
或：
1
2ｎ
ln
yk yk n
例1: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平 衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由 振动,经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求:
L
例２：求图示结构动力反映。
已知: EI 3200Nm2, L 1m,W 6kN,
4.5 , F 96Ｎ， ＝0.194。 FP (t)
A EI
W
计算最大动位移LL2 Nhomakorabea2
如果自振频率的计算误差为２５％时，最大 动位移可能是多少？
计算Ａ点最大动剪力
总结内力幅值计算规律：
R内 r内1(D(t) IF (t)) r内2 (FP (t))
阻尼比ξ是反映阻尼的基本系数，可通过实验得到 。
令 r 1 2 为有阻尼情况自振频率
y(t) e t (c1 sin rt c2 cosrt)
2、阻尼对振动的影响 （１）对固有频率的影响
r 12
随 增加而减小
但一般情况下, 很小，固有 r
Tr
2 r
2 1 2
T T
1 2
（２）对幅值的影响
FP (t)
2
D(t)
IF (t)
W
1
y(t) yst r sin( t )
FP (t) F sin t
D(t) cy(t) 2 myst r cos( t ) IF (t) my(t) myst r 2 sin( t )
一般情况下，由于内力与位移成正比，所以位移达 到最大值时，内力也达到最大值。
此时
t
2
t
2
例１：求图示结构的动力反映。
已知: EI 3200Nm2, L 1m,W 6kN,
4.5 , F 96Ｎ， ＝0.194。 解：① 求固有频率
② 荷载频率 ③ 计算动力系数 ④ 计算静位移 ⑤ 计算最大动位移 ⑥ 计算相位差 ⑦ 惯性力幅值
⑧ 计算动内力
FP (t)
EI
W
2、阻尼对振动的影响
(1)幅值 yp yst r
5.0
0
4.0
0.1
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
3.0 2.0
0.2
0.3
0.5
讨论：
1.0
1.0
(c)当
1,
r
1
2
影响不容忽略。
1.0
2.0 3.0
曲线
将
0.75
1.25
(25%)
称为共振区。
(2)荷载与位移的关系
动位移幅值同静位移
曲线
同无阻尼情况
影响不大;
2、阻尼对振动的影响
(1)幅值 yp yst r
5.0
0
4.0
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
3.0 2.0
0.1 0.2
0.3
讨论：
1.0
0.5
1.0
(b)当
,
r 0
动位移幅值趋于０
1.0
2.0 3.0
曲线
同无阻尼情况
影响不大;
荷载作用在质点位移方向：
R内
0
0
荷载未作用在质点位移方向：
R内
0
0
FP (t)
2
D(t)
IF (t)
W
1
作业： 10—14， 10—15 ，10—16（选作）
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
tan
2
1
2 2
有阻尼时的动力系数 动位移与动荷载的相位差
2、阻尼对振动的影响
(1)幅值 yp yst r
5.0
0
4.0
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
3.0
2.0
0.1 0.2
0.3
讨论：
1.0
0.5
(a)当
0,
r 1
1.0
1.0 2.0 3.0
y(t) e t (c1 sin rt c2 cos rt)
ce t sin( rt )
c1
y0
r
y0
c2 y0
c c12 c22
y02
(
y0
r
y0 )2
tan
y0
r y0
y0
则位移幅值 ce t
随时间变化
随时间增长，幅值趋于零，所以自由振动不能无
限振动下去。
（３）阻尼比测定
y(t) yst r sin( t )
讨论：
tan
2
1
2 2
(a)当
0,
tan 0,
0； 位移与荷载同相位
同无阻尼情况
(b)当
,
tan 0, ； 位移与荷载反相位
同无阻尼情况
(c)当
1,
tan ,
2
；
在共振区阻尼影响不容忽略。
３、动内力计算
结构上除有外荷载作用外，尚有阻 尼力和惯性力作用，同时考虑三者影响， 可得结构动内力。
1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数
2cm
16.4kN
6.若质量增加800kg，体系的周期和阻尼比为多少
三、阻尼对强迫振动的影响（简谐荷载）
运动方程: my(t) cy(t) ky(t) F sin t
y(t)
2y(t)
2 y(t)
F m
sin
t
y(t) yst r sin( t )
§10.2.3 阻尼对振动的影响 二、阻尼对自由振动的影响
1、运动方程的解
y(t)
c m
y(t)
k m
y(t)
0
设: c 得 2 m
y(t) 2y(t) 2 y(t) 0
Cr 2m 2 km 与体系自身特性有关
C Cr
表示阻尼系数与临界阻尼系数的比值, 称为阻尼比.
由公式 y(t) ce t sin( rt ) 知
yk yk 1
e t e (t Tr )
e Tr
ln 1
yk
2
y k 1
或：
1
2ｎ
ln
yk yk n
例1: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平 衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由 振动,经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求:
L
例２：求图示结构动力反映。
已知: EI 3200Nm2, L 1m,W 6kN,
4.5 , F 96Ｎ， ＝0.194。 FP (t)
A EI
W
计算最大动位移LL2 Nhomakorabea2
如果自振频率的计算误差为２５％时，最大 动位移可能是多少？
计算Ａ点最大动剪力
总结内力幅值计算规律：
R内 r内1(D(t) IF (t)) r内2 (FP (t))
阻尼比ξ是反映阻尼的基本系数，可通过实验得到 。
令 r 1 2 为有阻尼情况自振频率
y(t) e t (c1 sin rt c2 cosrt)
2、阻尼对振动的影响 （１）对固有频率的影响
r 12
随 增加而减小
但一般情况下, 很小，固有 r
Tr
2 r
2 1 2
T T
1 2
（２）对幅值的影响
FP (t)
2
D(t)
IF (t)
W
1
y(t) yst r sin( t )
FP (t) F sin t
D(t) cy(t) 2 myst r cos( t ) IF (t) my(t) myst r 2 sin( t )
一般情况下，由于内力与位移成正比，所以位移达 到最大值时，内力也达到最大值。
此时
t
2
t
2
例１：求图示结构的动力反映。
已知: EI 3200Nm2, L 1m,W 6kN,
4.5 , F 96Ｎ， ＝0.194。 解：① 求固有频率
② 荷载频率 ③ 计算动力系数 ④ 计算静位移 ⑤ 计算最大动位移 ⑥ 计算相位差 ⑦ 惯性力幅值
⑧ 计算动内力
FP (t)
EI
W
2、阻尼对振动的影响
(1)幅值 yp yst r
5.0
0
4.0
0.1
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
3.0 2.0
0.2
0.3
0.5
讨论：
1.0
1.0
(c)当
1,
r
1
2
影响不容忽略。
1.0
2.0 3.0
曲线
将
0.75
1.25
(25%)
称为共振区。
(2)荷载与位移的关系
动位移幅值同静位移
曲线
同无阻尼情况
影响不大;
2、阻尼对振动的影响
(1)幅值 yp yst r
5.0
0
4.0
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
3.0 2.0
0.1 0.2
0.3
讨论：
1.0
0.5
1.0
(b)当
,
r 0
动位移幅值趋于０
1.0
2.0 3.0
曲线
同无阻尼情况
影响不大;
荷载作用在质点位移方向：
R内
0
0
荷载未作用在质点位移方向：
R内
0
0
FP (t)
2
D(t)
IF (t)
W
1
作业： 10—14， 10—15 ，10—16（选作）
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
tan
2
1
2 2
有阻尼时的动力系数 动位移与动荷载的相位差
2、阻尼对振动的影响
(1)幅值 yp yst r
5.0
0
4.0
r
1
(1
2 2
)2
(2
)2
3.0
2.0
0.1 0.2
0.3
讨论：
1.0
0.5
(a)当
0,
r 1
1.0
1.0 2.0 3.0
y(t) e t (c1 sin rt c2 cos rt)
ce t sin( rt )
c1
y0
r
y0
c2 y0
c c12 c22
y02
(
y0
r
y0 )2
tan
y0
r y0
y0
则位移幅值 ce t
随时间变化
随时间增长，幅值趋于零，所以自由振动不能无
限振动下去。
（３）阻尼比测定
y(t) yst r sin( t )
讨论：
tan
2
1
2 2
(a)当
0,
tan 0,
0； 位移与荷载同相位
同无阻尼情况
(b)当
,
tan 0, ； 位移与荷载反相位
同无阻尼情况
(c)当
1,
tan ,
2
；
在共振区阻尼影响不容忽略。
３、动内力计算
结构上除有外荷载作用外，尚有阻 尼力和惯性力作用，同时考虑三者影响， 可得结构动内力。
1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数
2cm
16.4kN
6.若质量增加800kg，体系的周期和阻尼比为多少
三、阻尼对强迫振动的影响（简谐荷载）
运动方程: my(t) cy(t) ky(t) F sin t
y(t)
2y(t)
2 y(t)
F m
sin
t
y(t) yst r sin( t )