“工程非线性振动”的研究的若干进展及展望

y
= k 0 (r sin ν t − S )
(
)
ϕ m − 2π ≤ ϕ ≤ ϕ k ϕk ≤ ϕ ≤ ϕm
（1）
o
k
mp k0
mm
x
δห้องสมุดไป่ตู้
φ
式中， mp , mm 为工作机体质量与物料质量； f s 为阻力系 &, S && 为机 数； k , k 0 为主振弹簧刚度和连杆弹簧刚度； S , S
图 1 弹性连杆式振动输送机的振动系统
时间； f 为物料对机体的动摩擦系数； ϕ k ,ϕ m 为物料正向滑动开始和终止的相位角。 （2）含非线性阻尼力的非线性振动系统 测量轴承与轴销之间干摩擦系数的摩擦摆是具有库仑 阻尼与速度平方阻尼的振动系统。 图 2 表示了用于测量轴承 与轴销之间干摩擦系数的摩擦摆的示意图。 摆的运动微分方 程式可表
闻邦椿
NO：0004
“工程非线性振动”的研究的若干进展及展望
东北大学机械工程与自动化学院 闻邦椿
摘要：本文讨论“工程非线性振动”研究的若干进展。讨论有害振动的防止及有用振动的利用，以及与非 线性振动应用有关的一些基础理论，文中特别强调有关非线性振动的实验研究， 提出了若干需要深入研究 的问题。介绍了作者近期在《振动利用工程》及振动控制领域所取得的若干研究成果，举出了若干应用实 例。 关键词：工程非线性振动 振动利用工程 有害振动与有用振动
a0-a k m1 △k m2 m0 m0 k m2 d (b) x0 x m1 a
△k
ω
(a)
图 3 软式分段线性非线性弹簧摇床的工作机构和力学模型 (a)弹簧摇床工作机构 (b)弹簧摇床力学模型
&& + f c ( x &) + f k ( x) = F0 sinν t mx
⎛ dx ⎞ 非线性阻尼力 f c ⎜ ⎟ 与非线性弹性力 f k ( x) 可表示为 ⎝ dt ⎠
标上的位移、速度与加速度； t 为时间。 （2）齿轮传动系统的间隙非线性振动系统 在具有齿侧间隙的齿轮传动系统中，最简单的是一对齿轮副的非线性振动问题（图 6），这种问题可 以简化为单自由度系统进行研究。 假设齿轮传动系统的传动轴和支承轴承均是刚性的，则一对圆柱直齿轮副的二自由度动力学模型如图 7 所示。则齿轮副的扭转非线性振动分析模型为：
( (
) ( )
)
(16)
式中，m 为圆盘质量；g 为重力加速度；e 为圆盘的偏心；ω 为转轴的转速；ϕ e 为相对动坐标系的相位角；
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&,ξ &&, η , η & ,η && 分别为圆盘在动坐 c 为圆盘的外阻力系数； ci 为弹性轴的内阻力系数； k i 为弹性轴的刚度； ξ , ξ
&& + mg l sin ϕ = m r g cos ϕ + lϕ &2 f Jϕ
(
)
& ϕ & ϕ
（2）
式中，J 为摆对悬挂点的转动惯量；M 为摆的质量；l 为摆的 质心至悬挂点之距；r 为轴的半径；f 为轴承与轴销之间摩 擦系数； ϕ 为摆的摆动角度。 在摆动角度不很大的情况下，上式中的 cosϕ 和 sin ϕ 可展为
&,x &&, y , y & , && y 为机体沿 x 和 y 方向的位移、速度和加速度, 体沿振动方向的位移、速度和加速度； x , x
&,x &&) 为 x 方向物料的非线性作用力；ν 为振动频率； t 为 x = S cos δ , y = S sin δ ；δ 为振动方向角； Fm( x , x
式中， a 为静止状态下硬弹簧的压缩量； a0 − a 为静止状态下软弹簧的压缩量； k ,Δk 分别为软弹簧与硬弹 簧的当量刚度； f ,Δf 分别为软弹簧与硬弹簧工作区段的当量阻力系数。 （5）含滞回恢复力的非线性振动系统 基于对惯性振动圆锥破碎机的研究，我们在文献[3]中提出了一种带双向对称带间隙的滞回模型，其滞 回曲线如图 4 所示，这是一种典型的分段直线型的滞回模型。 假定惯性圆锥振动破碎机的机体不动，动锥受偏心质量块的作用沿着 x 方向往复运动，动锥和机体之
f ( v ) = a − bv + c v v + dv 3
由此可见，在实验过程中摆处于静止不动时，则偏角 ϕ 0 极易测出，从而由式（6）可计算出动摩擦系
（7）
式中， a , b, c, d 为系数，可由不同转速下的实验结果加以确定。 （4） 含分段线性非线性恢复力的振动系统 下面讨论软特性分段线性非线性弹簧摇床，图 3 表示该系统的力学模型及弹性力图。当振动质体的位 移超过某定值 e 时，弹性力发生折线变化，即其刚度突然减小。因此该系统属于软特性非线性系统，其弹 性力可表示为
2 工程非线性振动问题举例
2.1 有用振动的工程应用方面
（1）含非线性惯性力的非线性振动系统 该系统包含有非线性惯性力。参考图 1，当考虑物料沿机体断续滑动时，弹性连杆式振动输送机的运 动方程式为
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&& + f S &+m S && sin 2 δ + F (& & & mpS s m m x, x, x ) cos δ + kS && cos δ ⎧m S &, x &, x ) = ⎨ m Fm (& x && ⎩ f S m m g + S sin δ
x ≤e e < x < x2 x ≥ x2 x > x4 e ≤ x ≤ x4 &>0 x &>0 x &<0 x &<0 x
（11）
式中，k1为弹性加载刚度；k2为塑性加载刚度；e 为间隙；式中其它参数如下： α1= −k1e，α2= −k2x2+F2，α3=−k1x3+F3，α4= −k2e
图 4 平行四边形滞回系统与带有间隙的双向滞回系统 (a) 平行四边形滞回系统 (b) 带有间隙的双向滞回系统
上式中等号后第一项为干摩擦，第二项为速度平方阻尼。 （3）含光滑非线性恢复力的振动系统
（4）
可以利用弗洛特摆测量轴承的摩擦系数，通过该摆测定了轴与内套之间的动摩擦系数，图 2 为其力学 模型,转动轴上的外套及摆的内套为一组试件,滑动面半径为 r,摆的重心至转动轴心距离为 l。当轴以角速 度 Ω 逆时针转动时,摩擦力将带动摆偏转 ϕ 角度。 摆的运动微分方程为
&& = M r − mg l sin ϕ − ulϕ & Jϕ
（5）
式中， J 为摆的转动惯量； m 为摆的质量； M r 为摩擦力矩； u 为空气阻力系数； r 为轴的半径； l 为摆的 质心至悬挂点的距离； ϕ 为摆的摆动角度。 摩擦力矩 M r 可表示为
& 2 r f (Ω − ϕ &) M r = mg cos ϕ + mlϕ
J1 R1 k M2(t) J2 M1(t)
ω1, ϕ1(t)
h
c
kξ = 48 EJ ξ l
3
, kη =
48 EJ η l3
（14）
圆盘质量的偏心为 e ，相对动坐标系的相位角为 ϕ e ，于是有
eξ = e cos ϕ e ,eη = e sin ϕe
（15）
图 1.9 具有涡动的非轴对称转轴的转子系统的示意图
图 5 具有涡动的非轴对称转轴的转子系统的示意图
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间依靠物料层来相互作用。考虑物料的滞回作用，则动锥相对运动微分方程式为
& + cx & + kx + F (x ) = P sin θ t m& x
（10）
式中，m 为破碎锥的质量；c 为阻尼；k 为系统的线性刚度；双向滞回力 F(x)可以表示为
⎧0 ⎪ ⎪ k 1 x + α 1 sgn ( x ) ⎪ F ( x ) = ⎨ k 2 x + α 2 sgn ( x ) ⎪ ⎪ k 1 x + α 3 sgn ( x ) ⎪ k x + α sgn ( x ) 4 ⎩ 2
2.2 有害振动的抑制与控制方面
（1）考虑涡动时非轴对称转轴和单盘转子系统
如图 5 所示，由于转轴的弯曲刚度在不同平面内是不相同的，先在旋转坐标系 o ′ ξ ′η ′z ′ 中研究圆盘的 运动，再变换到固定坐标系上。在盘心 o ′ 点上作与固定坐标系 oxyz 相平行的坐标系 o ′ x ′y ′z ′ ，并作随圆盘 旋转的动坐标系 o ′ ξ ′ξ ′z ′ ，并令 o ′ ξ ′和o ′ η ′ 是轴截面上的两个主惯性轴。转子以自转速度 ω 绕 o ′ z ′ 轴转动。 设轴的两个截面上的主惯性矩为 J ξ 和Jη ，轴的长度为 l ，则轴的弯曲刚度为
cosϕ = 1 − sin ϕ = ϕ −
图 2 测量轴与轴孔摩擦系数用的弗洛特摆
ϕ2
2
+L +L
ϕ3
6
（3）
在这种情况下，上式可写为
⎡ ⎛ ϕ2 ⎞ ⎤ & ⎛ ϕ3 ⎞ ϕ && + mgl ⎜ &2⎥ ⋅ f ⎟ Jϕ mr + lϕ ϕ 1− ⎟ = − ⎢g⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ & 6 ⎠ 2 ⎠ ϕ ⎝ ⎣ ⎝ ⎦
当考虑转子涡动，即转子的陀螺效应时，转子系统的运动微分方程式如下式所示
2 && − ω 2ξ − 2ωη & − ωη + c ξ & & +cξ mξ i + kξ ξ = meω cos ϕ e + mg cos ωt & + c(η && − ω 2η + 2ωξ & + ωξ ) + ciη & + kηη = meω 2 sin ϕ e − mg sin ωt mη
（8）
⎧ ( f + Δf ) dx ⎪ ⎛ dx ⎞ ⎪ dt fc ⎜ ⎜ dt ⎟ ⎟ = ⎨ dx ⎝ ⎠ ⎪f ⎪ ⎩ dt
x ≥ −a
（9）
x < −a
x ≥ −a x < −a
⎧ − k (a 0 − a − x ) + Δk ( x + a ) f k (x) = ⎨ ⎩ − k (a 0 − a − x )
(
)
（6）
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& ) 是相对速度的函数，将式(6)代入式(5),得 摩擦系数 f ( Ω − ϕ
&& = mg cos ϕ + mlϕ & 2 r f (Ω − ϕ & ) − mg l sin ϕ − ulϕ & Jϕ
(
)
数 f ( v ) 的值，改变轴的转速，又可测出另一转速下试件的动摩擦系数。 动滑动摩擦系数 f ( v ) 有以下表示式
1、引言
近百年来，有关非线性振动的研究，不仅对基础理论的研究，而且对其实际应用的研究，都取得了很 大的进展。在工程应用方面，不仅是对有害振动的抑制和控制的研究，而且对有用振动的利用的研究，都 已取得了许多丰硕的成果。 在基础理论的研究上，在定性研究或是定量研究方面都提出了一些新的有效的方法。特别是在近 50 年来， 对混沌运动现象的揭示及对其开展的研究工作， 被认为是当今科学领域的重大发现和重要成就之一。 在工程应用方面，针对工程技术中的各种问题开展了大量的深入研究， 不仅对有害振动的抑制和控制 进行了深入的研究，解决了工程技术中的许多重大问题，写出了许多论文和著作。在对有用振动利用的研 究方面，经过长期研究，已初步构建立起了《振动利用工程》新学科的理论框架，发展了某些分支的理论， 进而大大地促进了振动利用技术的发展。再由于近半个世纪以来计算机技术的迅速发展， 许多非线性振动 问题可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，这就使得非线性振动问题的解法向前推进了一大步。 例如，在有害振动的研究中，已提出了一些有效措施来限制以至完全消除这些有害振动。尽管如此， 目前仍然有许多有害的振动问题还没有进行深入的研究和解决， 例如，直到现在对地震还没有办法进行准 确的预报和预防。 再如，在有用振动的研究方面同样取得了许多重要成果。在医疗方面，利用超声波能够诊断、治疗疾 病；在土建工程中，振动沉桩、振动拔桩以及混凝土灌注时的振动捣固等；在电子和通讯工程方面，录音 机、电视机、收音机、程控电话等诸多电子器件以及电子计时装置和通讯系统使用的谐振器都是由于振动 才能有效的工作；在工程地质方面，利用振动进行检测和地质勘探；在原油开采上，还可利用振动提高原 油产量；在海洋工程方面，海浪波动的能量可以用来发电；在许多工矿企业，利用振动设备可完成许多工 艺过程，或提高某些机器的工作效率。最近五十多年来，应用振动原理而工作的机器——振动机械得到了 迅速发展。据不完全统计，目前已用于工业生产的振动机有数百种之多, 如振动压路机、振动给料机和振 动成型机等。 尽管在振动控制与利用的研究方面取得了丰硕成果，但还有许多问题亟待解决。