24.1.2垂直于弦的直径(新版人教版)

圆心角 弧 弦
A O·
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？如图: ∠AOB= ∠COD.
A B
o
C
D
A B
o
C D
A B
o
C D
Βιβλιοθήκη Baidu B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C
D
A B
o
C D
A B
o
C D
（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长 A
O
B
PC
D
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
A′
B′
⌒⌒
如由条件: ②AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′
推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两
条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相
等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
.A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
如由条件: ③AB=A′B′
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等所对的弦相等.
A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
A′
B′
⌒⌒
由条件:
可推出 ②AB=A′B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
拓展与升华
在同圆或等圆中,如果轮换下面三组条件:
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,
你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由
.A
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧 或两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其 余的各组量都分别相等.
下面的说法正确吗?为什么? ，
如图,因为 AO A B O B
根据圆心角、弧、弦的
关系定理可知：
O
A⌒BA⌒B
A
B
不正确,因为不在同圆或等圆中.
A
B
练习
如图:已知OA,OB是⊙O中的两条半径, 且OA⊥OB,D是弧AB上的一点,AD的延长 线交OB延长线于点C.已知∠C=25°,求圆 心角∠DOB的度数.
C
A O E 1 8 0 o 3 3 5 o
A
·
O
B
75o
A
知识延伸
B
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径.
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
O
D
C
AB=BC=CD=DA.
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
4、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上
取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于
点A、 B.
⌒⌒
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
O
E C
F D
A
B
5、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在 ⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别 交BC于点P⌒，交BC于点D，连接BD、CD.
Ａ Ｄ
∠DOB=40°
Ｏ
ＢＣ
五、例题
⌒⌒
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒⌒
A
证明：∵AB=AC
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
又∠ACB=60°，
O·
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. B
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
判断：
1、等弦所对的弧相等。 （× ）
2、等弧所对的弦相等。 （√ ）
× 3、圆心角相等，所对的弦相等。( ）
4、弦相等，所对的圆心角相等。（×）
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒DE,
∠COD=35°，
求∠AOE的度数．
E
D
解：
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒
DE
B O C = C O D = D O E = 3 5 o
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C D
A B
o
C
D
A B
☺
o
C
D
A B
☺
o
C
D
A B
o
C D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对
的弦、弧有什么关系？
A
B
如图:∠AOB =∠COD AB=CD
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
点此继续
随堂训练
2、如 图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦， A⌒D=B⌒C
求证AB＝CD.
C
B O
D A
3、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O
的半径，弦BE∥OA。
求证：A⌒C=A⌒E
C
O A
E
B
3、如图6，AD=BC，那么比较AB与CD
的大小.
A
C
D
O
B
24.1.2 弧、弦、圆心角
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
圆心角：我们把顶点在圆心的角 叫做圆心角.
A ∠AOB为圆心角
O·
圆心角∠AOB所对
B 的弦为AB，所对的弧 为A⌒B。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并 说明理由。
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
可推出
A′
B′
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′
条件
结论
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中 那 弧所对的圆心角相等
如果弧相等
么 弧所对的弦相等
在同圆或等圆中 那 弦所对的圆心角相等
如果弦相等
么 弦所对的弧(指劣弧)相等
推论:(圆心角定理的逆定理)
o
C
D
∵∠AOB=∠COD,
∴半径OB与OA重合, ∴点A与点C重合,点B与点D 重合. ∴AB=CD, 根据圆的性质,A⌒B与C⌒D重合.
此时,称作两条圆弧相等。 记作:“A⌒B=C⌒D”
A B
o
C D
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所 对弧相等,所对的弦也相等.
圆心角,弧,弦之间的关系定理