第2章 人寿保险的趸缴纯保费

40 40
p 2 5 A6 5
解得：P
2 0 0 0 0 0 .1 1 0 0 0 0 0 .2 0 .8 0 .2 1 0 .2 0 .8
xk x

xk

1
x
。
故
q 1 k | 50
s (5 0 t ) s (5 0 )
1 / 50 。
所以保额在保单生效时的精算现值为：
A5 0
v
k 0
49
k 1 k|
q 50
e
k 0
49
0 .0 6 ( k 1)

1 50
0 .3 0 7 3
1
B．0.08
C．0.10
D．0.12
E．0.14
【解析】由已知，有
A x :1 0 A x :1 0 A x :1 0
1 1
即 A x :1 0 0 .5 A x :1 0 ，
1 1
故 A x :1 0 A x
1 1
1 0|
A x A x A x :1 0 A x 1 0，
E (Z )

v
k 0
k 1
b k 1 k | q x
( 2 .1)
现值随机变量Z的期望值E(Z)称为趸缴纯保费。
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1．死亡保险（n年定期保险、终身寿险） （1）n年定期死亡保险（趸缴纯保费记为 A 1 : n ） x 设年龄为x岁的人，投保或签约的保险金额为1个单位，即
故 E Z b1 0 .1 1 0 b1 0 .5 4， E Z
2
b

2
1
0 .1 1 0 b1 0 .5 4，
2 2
故 Var Z
E Z
E Z
2
0 .4 4 6 4 b1 6 .0 4 8 b1 2 4 .8 4。
A x :h A x h
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（3）延期h年的n年两全保险（趸缴纯保费记为 h | A x :n）
n h 1 h|
A x :n

v
1
k 1
k | q x v
nh
1 1
v
k 0
100 x k 100 x k 1 100 x
1 100 x

9
v
k 1

7 .3 6 0 1 100 x
k 0
故 A3 0:1 0
0 .5 5 8 4 (9 0 x ) 100 x 5 7 .6 0 .5 5 8 4 x 100 x 70
n h p x (2 .9 )
k h
A x :h A x h :n
【例题2.4】 A．0.06 【答案】C
已 知 ： A x 0 .2 4， A x 1 0 0 .3 5， A x : 1 0 0 .5 。 则 A x:1 0 ） （ 。
额为1个单位的寿险。
1 （1）Biblioteka Baidu期 h 年的 n 年定期寿险（趸缴纯保费记为 h| A x:n ）
( K h ， h 1， ， h n 1) 1 b K 1 0 其 他 v K 1 v
K 1
( K 0 ，1，2 ， ) ( K h ， h 1， ， h n 1) 其他 v
1 2
v
k 0 n 1 k 0
n 1
k 1
k | q x
2
e
k 0
n 1
( k 1)
k | q x k | q x
2
( 2 .2 )
A x :n E ( Z )
1 2 2
(v
k 1
) k | q x
2 2
e
k 0 1
n 1
2 ( k 1)

k 1
k | q x E ( Z ) ) k | q x E ( Z )
2 2 2
( 2 .4 )
Ax
(v
2
k 1
Var (Z )
Ax ( Ax )
( 2 .5)
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【例题2.2】50岁的人投保保额为1的终身死亡保险，设年利息力为常数0.06，死亡服从De
1 1
即 A x :1 0 0 .2 4 A x :1 0 0 .5） 0 .3 5， （ 故 A x :1 0 0 .1。
1
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【例题2.5】(25)有一份终身寿险，提供如下保障：
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【例题2.3】已知：lx=100－x，0≤x≤100，i=0.06。则
=（ A3 0:1 0
）。
A．0.578
【答案】D
B．0.581
C．0.583
D．0.584
E．0.586
【解析】已知i=0.06，则v=1/(1+i)=1/1.06，故
A x :1 0 v
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【引言】 一、寿险保费的概念 自然保费、趸缴保费、均衡保费 二、保费计算原理 收支平衡原理，纯保费需要两个要素——死亡率、利率，总保费则还需要一个要素—— 费用率。 三、寿险的类型（寿险又分为死亡保险和生存保险） 连续型、离散型、半连续型。
b K 1 1 采用复利计息，即 v K 1 v v K 1 则 Z 0
K 1
( K 0 ， ，2 ， ， n 1) 1
( K 0 ， ，2 ， ， n 1) 1
( K 0 ，1 ，2 ， ， n 1) 其他 A x :n E ( Z )
P 2 0 0 0 0 A 2 5 1 0 0 0 0 4 0| A 2 5 P v P (1 v
40 40
40 40
p 25
p 2 5 ) 2 0 0 0 0 A 2 5 1 0 0 0 0 4 0| A 2 5 2 0 0 0 0 A2 5 1 0 0 0 0 v
第2章 【考试内容】
人寿保险的趸缴纯保费
2.1
离散型人寿保险模型
死亡保险 n年两全保险 延期寿险
非均衡给付保险
换算函数 2.2 连续型人寿保险模型 死亡保险 两全保险 延期寿险 非均衡给付保险 趸缴纯保费的换算函数表示式 2.3 2.4 死亡均匀分布假设下的寿险模型
A x 与Ax之间的关系
递推方程式 离散型终身寿险趸缴保费的递推方程式 连续性终身寿险趸缴保费的微分方程式
的年末给付，保单年度t的保额为bt，已知条件为：q30=0.1，b2=10－b1，q31=0.6，i=0，Z表示
给付现值随机变量，则使得Var(Z)最小的b1的值为（ A．0.0 【答案】C 【解析】i=0，则v=1，故
Z b k 1 v
k 1
）。
B．5.0
C．6.8
D．8.6
E．8.9
Moivre假设，ω=100，则保额在保单生效时的精算现值为（
A．0.1072 【答案】B 【解析】在De Moivre假设下，有：
f x (t ) 1 ，
tqx
）。
E．0.6076
B．0.3073
C．0.5074
D．0.5075
x
1
Fx (t )
t
x
从 而 k p x q xk
。
7 .3 6 0 1 100 x
5 7 .6 0 .5 5 8 4 3 0
0 .5 8 4 。
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3．延期寿险 延期寿险，即保单签发后的若干年后才提供保障，假设(x)投保离散型的延期h年的保险金
（1）死亡保险金在死亡发生的年末支付，并且在65岁之前为20000元，在其后为10000元；
（2）若其在65岁时仍然活着，则退回趸缴纯保费（不带利息）； （3）A25=0.10，A65=0.2，40p25=0.8，v40=0.2。 则该保险的趸缴纯保费为（ A．1700 【答案】D 【解析】设P为趸缴纯保费，Z为死亡给付现值随机变量，则该(25)的趸缴纯保费可以看作 一个给付20000元的终身寿险，减去一个给付10000元的40年延期终身寿险，加上一个65岁时 的生存保险，即 B．800 ）元。 D．2000 E．2100 C．1900
k 0 b1， 1 0 b1， k 1
0|
Pr K 30 0
q 3 0 q 3 0 0 .1
P r K 3 0 1 1| q 3 0 p 3 0 q 3 1 1 0 .1 0 .6 0 .5 4
n 1 1
v K 1 n v
A x :n
1 n
v
k 0
k 1
k | q x v n p x A x :n A x :n
( 2 .6 )
其 中 A x :n v n p x 表 示 n 年 期 生 存 保 险 的 趸 缴 纯 保 费 。
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k 1
v K 1 Z 0
h |
n h 1
A x :n
1

k h
k | q x A x ：h A x h : n
1 1
( 2 .7 )
（2）延期 h 年的终身寿险（趸缴纯保费记为
h |
h |
Ax）
A x
v
k h 1

k 1
k | q x (2 .8)
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【要点详解】
§2.1
离散型人寿保险模型
离散型人寿保险模型：以离散型未来寿命K(x)为基础，保险金是在被保险人死亡所处的保 单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型。 本节研究前提： ①假设被保险人在投保（或签单）时的年龄为x岁，其未来寿命整年数为K(x)，则其概率 分布列为： Pr(K(x)=k)=k|qx=kpx qx+k（k=0，1，2，…） ②假设保险金额在K(x)+1处给付，给付数额为bk+1元，记vk+1为在K(x)+1处给付一个单位保 险金在签单时的利息贴现系数，Z为给付保险金额在签单时的现值，则 Z=bK+1·K+1（K=0，1，2，…） v 在离散型人寿保险模型下，现值随机变量Z的期望为：
1 10 10
p x 1 .0 6 q k| x
10

l x 1 0 lx
0 .5 5 8 4
90 x 100 x
A x :1 0
1

9
9
v
k 1
k 0 k 1

9
v
k 1
l x k l x k 1 lx
k 0

所 以 A x :1 0 A x :1 0 A x :1 0
V a r ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )]
A x :n ( A x :n )
1
( 2 .3)
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【例题2.1】（2008年春季真题）30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡
2
所以当b1=6.048/(2×0.4464)=6.8时，Var(Z)最小。
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（2）终身寿险（趸缴纯保费记为 A x） n年定期死亡保险中，令n→∞得终身寿险的趸缴纯保费为：
Ax
2
v
k 0 k 0
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2．n年两全保险（由n年生存保险和n年定期寿险组成）
b K 1 1 v K 1
n 1
( K 0，， ， … ， 1) 1 2 n ( K 0，， ， … ， 1) 1 2 n (K n)