高考数学-圆的方程

圆的方程

一. 教学目标

1.了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程．

2.能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化．

二. 知识梳理

1. 圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．

2. 圆的标准方程

(1) 以(a ，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2．

求标准方程的方法——关键是求出圆心

(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标

②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交

相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线

相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

(2) 特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r ．

3. 圆的一般方程

方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1) 当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2

，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆； (2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2

，－E 2；

(3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形．

重点解析

1.22

0Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则

2222000

04040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

⎩ 当0422>-+F E D

时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D

时，表示一个点；

当0422<-+F E D

时，方程不表示任何图形。

2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法，先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围

4. 点与圆的位置关系

点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系：

(1) 若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2．

(2) 若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2．

(3) 若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2

5. 涉及最值：

（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论

PB 的最值 min PB BN BC r ==-

max PB BM BC r ==+

（2）圆内一点

A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

min PA AN r AC ==-

max PA AM r AC ==+

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

三. 典型例题

题型1 圆的方程

例已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．

(1) 求实数m的取值范围；

(2) 求该圆半径r的取值范围；

(3) 求圆心的轨迹方程．

变式训练

已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.

(1) 若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；

(2) 圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．

题型2 求圆的方程

例1圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．

例2 在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.

(1) 求实数b的取值范围；

(2) 求圆C的方程；

(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．

变式

已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．

(1) 求直线l1、l2的方程；

(2) 若l1、l2与x轴分别交于P、Q，且l1、l2交于点R，经过P、Q、R三点作圆C.

①当a＝4，b＝－2时，求圆C的方程；

②当a，b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．

题型3 与圆有关的轨迹问题

例设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

变式

点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．

题型4 与圆有关的最值问题

例已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．

(1) 求|MQ|的最大值和最小值；

(2) 若M(m，n)，求n－3

m＋2

的最大值和最小值．

变式训练

已知实数x、y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________，最小值为________．

教师归纳

1. 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1) 几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，直接写出圆的方程．常用到的圆的如下三个性质：

①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

几何法体现了数形结合思想的运用．

(2) 代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．大致步骤为：

①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

2. 解决与圆有关的最值问题的常用方法

(1) 形如u＝y－b

x－a

型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．

(2) 形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．

(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．

四. 归纳总结