运输问题的数学模型

m in z cij x ij
i 1 j 1 m n
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
B1 A1 A2 A3 2 1 8 B2 9 3 4 B3 10 4 2 B4 7 2 5 产量 9 5 7
销量
3
8
4
6
分析： 本问题是产销平衡的，即总产量等于总销量： 9+5+7=3+8+4+6=21 令x i j 表示从A i到B j 的调运量，则运输方案可由 3×4=12 个决策变量组成：
B1 A1 A2 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23 B4 x14 x24 产量 9 5
迭代过程中得出的所有解都要求是运输问题的基可行解。 下面用例子加以说明。
例1 给定下列运输问题.
B1 A1 A2 A3 销量 2 1 8 3 B2 9 3 4 8 B3 10 4 2 4 B4 7 2 5 6 产量 9 5 7
分析： 由于总产量是9+5+7=21，总销量是3+8+4+6=21， 故产销平衡。 该问题有3个产地，4个销地，故基可行解含有 3+4-1=6个基变量。
画去运输数据表中第2行，B3
的销量剩余为 4-3 = 1。得到新的产销平衡运输表.
B1 A1 A2 A3 3 0 0 3/0
B2 6 2 0 8/2/0
B3 0 3 1 4 4/1
B4 0 0 6 6
产量 9/6/0 5/3 5/3/0 7
销量
现在只有一个产地两个销地，故令x33 =1 ，x34 =6 为基变量，将其分别填到调运方案表中第3行第3 列与第3行第4列上。 得到产销平衡运输问题的一个初始方案.
表上作业法是求解运输问题的一种简便而有效的方法， 其求解工作在运输表上进行。 实质是单纯形法. 它是一种迭代法，迭代步骤为：先按某种规则找出一个 初始解(初始调运方案)，再对现行解作最优性判别；若 这个解不是最忧解，就在运输表上对它进行调整改进， 得出一个新解；再判别，再改进；直至得到运输问题的 最优解为止。
练习题
1、某公司生产某种产品有三个产地A1、A2、A3 ，要把产 品运送到四个销售点B1、B2、B3、B4 去销售。各产地的产 量、各销地的销量和各产地运往各销地每吨产品的运费 （百元）如下表所示。
问应如何调运，可使得总运输费最小? （1）用西北角法求初始基本可行解；
２.最小元素法
最小元素法和西北角法大体差不多，只 是考虑了运价的因素. 最小元素法的基本思想是——就近供应； 即从运价表中最小的运价开始确定供销关系.
该系数矩阵中每列只有两个元素为1，其余的都为零。
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式 ）
所以R(A)=m+n-1，
a b
i
j
即解的mn个变量中基变量为m+n-1个。
二、 表上作业法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线性 规划法中的单纯形法来解决。但是： 1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表 太大； 2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0，会使 问题更加复杂。 以上两个原因使得我们不得不利用运输问 题的特点设计出它的特殊解法——表上作业法。
B1 A1 A2 A3 3 0 0 3/0
B2 6 2 0 8/2/0
B3 0 3
B4 0 0
产量 9/6/0 5/3 5/3/0 7
销量
4 4/1
6
令x23为基变量，则
x23 min{3, 4} 3
产地A2的产量3全供给销地B2，所以x24=0，
x24为非基变量。 将x23 ＝3 填到调运方案表中第2行第3列上。
a b
i 1 i j 1
m
n
j
）
Bn c1n 产量 a1
B2 c12
… …
A2 … Am
销量
c21 … cm1
b1
c22 … cm2
b2
… … …
…
c2n … cmn
bn
a2 … am
2、运输问题的数学模型
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下， 要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
运输问题的数学模型
本章主要内容:
§3.1 运输问题及其数学模型
§3.2 表上作业法
§3.3 产销不平衡的运输问题
§3.4 应用举例
教学要求：
1．掌握运输问题的数学模型、系数矩 阵特殊形式 2．掌握用西北角法、最小元素法求初 始基可行解 3．掌握回路、位势法求解过程和表上 作业法求解运输问题过程
若有几个最小运价，则任取其一。
最 小 元 素 法 计 算 1
B1 A1 A2 A3 bj 0 3 2 1 8
B2 9 3 4 8
B3 10 4 2 4
B4 7 2 5 6
ai 9 5 5/2 7
0
3 3/0
寻找运价中最小的： min{cij } c21 1 令 x21 min{5,3} 3
满足产销平衡要求的调运方案要求各个销地的销 量都能满足，即 x11 x21 x31 3 对于B1成立 对于B2 成立 对于B3成立
对于B4成立
x12 x22 x32 8 x13 x23 x33 4 x14 x24 x34 6
另外从Ai到Bj 运输物资的调运量不能为负，即
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
i 1 j 1
将约束方程式展开可得
a1 x11 x1n x21 x2 n a2 xm1 xmn am x21 xm1 b1 x11 x12 x22 xm 2 b2 x1n x2 n xmn bn
xij min{ ai , b j }
然后划去产销平衡运输表中的一行或一列得到一个 新的产销平衡运输表；再重复上述过程直至得到问 题的运输方案。 具体的算法过程如下：
例如对于前面的例子：
B1 A1 A2 A3 3 0 0 3 3/0 B2 B3 B4 产量 9 9/6 5 7
销量
8
4
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9 令 x11为基变量，x11 min{ ,3} 3 销地B1的销量３全由产地A1供给，所以x21=0, x31 =0 , x21与x31为非基变量。 将x11 =３填到调运方案表中第1行第1列上。 画去运输数据表中第1列, A1 的产量剩余为 9-3 = 6. 得到新的产销平衡运输表。
B1 A1 A2 A3 3 0 0 3/0
B2 6 2 0 8/2 8/2/0
B3 0
B4 0
产量 9/6/0 5 5/3 7
销量
4
6
令x22为基变量，则
x22 min{5, 2} 2
销地B2的销量2全由产地A2供给，所以x32=0，
x32为非基变量。
将x22
＝2 填到调运方案表中第2行第2列上。 画去运输数据表中第2列，A2 的产量剩余为 5-2 = 3。得到新的产销平衡运输表.
A3
销量
x31
3
x32
8
x33
4
x34
6
7
满足产销平衡要求的调运方案把各个产地的产量 都能调运完，保障供给，即 对于A1成立 对于A2成立 对于A3成立
x11 x12 x13 x14 9 x21 x22 x23 x24 5 x31 x32 x33 x34 7
得到产销平衡运输问题的一个初始方案.
B1 A1 A2 A3 销量 3 8 3 B2 6 2 3 1 4 6 6 B3 B4 产量 9 5 7
评 注
表中填了6个数值，正好对应基变量，即
6 = m + n – 1 = 3+4-1
其余未填数字的空格位置的数值为0,对应非基变量. 西北角法确定的初始方案没有考虑运价的影响，因
xij 0, i 1,2,3; j 1,2,3,4
调运方案的总费用为
min z 2 x11 9 x12 10 x13 7 x14 x21 3x22 4 x23 2 x24 8 x31 4 x32 2 x33 5 x34
综合上述分析，得到本案例的数学模型
1、运输问题一般表述： 设某种物资有m个产地 A1,A2,…,Am ,生产量分别为 a1，a2,…,am ; n个销地 B1,B2,…,Bn，销售量分别为 b1,b2,…, bn ;cij 表示 i 地往 j 地的单位运价。在产销 平衡条件下，求总运费最小的调运方案。 （产销平衡：
B1 A1 c11
（一）确定初始基可行解
运输问题是一种特殊的线性规划问题（大型稀疏矩 阵的处理）,它的初始基的确定具有一定的难度.
运输问题的初始方案的确定主要有三种方法：
１.西北角法 ２.最小元素法 ３.伏格尔法
１.西北角法（左上角法）
西北角法每次都从运价表的左上角确定基变量。算 法的每一步都取最左上角的元素（如xij）为基变量， 其取值是相应行列产销量的最小者，即

B1 A1 A2 A3 3 0 0 3/0
B2 6
B3 0
B4 0
产量 9/6 9/6/0 5 7
销量
8 8/2
4
6
令x12为基变量，则
x12 min{6,8} 6
产地A1的产量6全供给销地B2，所以
x13=x14=0，x13与x14为非基变量。
将x12
＝6 填到调运方案表中第1行第2列上. 画去运输数据表中第1行，B2 的销量还要 8-6 =2.得到新的产销平衡运输表.
一、 运输问题及其数学模型
问题的提出:
在经济建设中，经常碰到物资调拨中的运 输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全 国都有若干生产基地，分别将这些物资调 到各消费基地去，应如何制定调运方案， 使总的运输费用最少？
一、运输问题的数学模型
实际案例
设某种物资有3个产地 A1，A2，A3， 生产量分别 为9，5，7;有4个销地B1，B2，B3，B4 ，销售量分 别为3，8，4，6 ;已知从Ai到Bj 物资的单位运价见 下表。求总运费最小的调运方案。
销地B1的销量3全由产地A2供给，所以x11=x31=0 。 将x21＝3填到调运方案表中第2行第1列上。
画去运输数据表中第1列， A2的产量剩余为 5-3=2。得到新的产销平衡运输表.
最 小 元 素 法 计 算 2
B1 A1 A2 A3 bj 0 3 2 1 8 0
min z 2 x11 9 x12 10 x13 7 x14 x21 3 x22 4 x23 2 x24 8 x31 4 x32 2 x33 5 x34 x11 x12 x13 x14 9 x x x x 5 21 22 23 24 x31 x32 x33 x34 7 x11 x21 x31 3 s.t. x12 x22 x32 8 x13 x23 x33 4 x14 x24 x34 6 x 0, i 1, 2,3; j 1, 2,3, 4 ij
而离最优方案相去甚远。
该问题的运价表：. B1 A1 A2 A3 2 1 8 B2 9 3 4 B3 10 4 2 B4 7 2 5
产销平衡运输问题的一个初始方案.
B1 A1 A2 A3 销量 3 8 3 B2 6 2 3 1 4 6 6 B3 B4 产量 9 5 7
这个方案的运费是 2×3+9×6+3×2+4×3+2×1+5×6=110。