粘弹性介绍全解
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e1 e2+e3 e1 e3 •加力瞬间，键长、键角立即 产生形变回复，形变直线上升 •通过链段运动，构象变化， 使形变增大
t1
t2
t •分子链之间发生质心位移
作用时间问题
1 1 t t / 0[ (1 e ) ] E1 E2
(A) 作用时间短(t 小），第二、三项趋 于零
Maxwell模拟的是 理想粘性体的蠕变行为。
1 t t 0 Maxwell ( t ) 0 模型的蠕变： 0 G
stress removed (t)
0 /
0
t
Βιβλιοθήκη Baidu
7.3.1
Maxwell 模型
dε 1 dσ σ = · + dt E dt η dε =0 应力松弛： ε＝常数，即 dt 1 0= E dσ σ + dt η
Maxwell 模型
？
η
τ=
E
=
Pa· s
Pa
= s
当t＝τ时，σ(τ)＝σ(0)·e-1＝0.368σ(0) 松驰时间τ的宏观意义为应力降低到起始应力σ(0)的e-1倍 （0.368倍）时所需的时间 σ(t)
σ(0)
τ
t
松驰时间τ是松驰过程完成 63.2 %时所需的时间
7.3.1
Maxwell 模型
小结： 静态粘弹性现象：
蠕变：在一定的温度和恒定应力的作用下，观察 试样的应变随时间增加而增大的现象。
ε
③
②
①
t
静态粘弹性现象：
应力松弛：在一定的温度和恒定应变的作用下， 观察试样的应力随时间增加而衰减的现象。 0 交联聚合物 线形聚合物
t
线性粘弹性模型： Maxwell模型
由一个弹簧与一个粘壶串联组成
粘性
(1)耗能：能量耗为热能
(2)不可逆：无形状记忆
(3)依时：应变随时间发展
E＝E（σ, ε ,T, t）
牛顿流体
高聚物粘弹性 The viscoelasticity of polymers
•粘弹性是高聚物的一个重要特征，粘弹性赋予 高聚物优越的性能。 •高聚物材料表现出弹性和粘性的结合。 •在实际形变过程中，粘性与弹性总是共存的。 •聚合物受力时，应力同时依赖于形变和形变速 率，即具备固、液二性，其力学行为介于理想
－蠕变回复过程的方程
t
1 注意：对弹性体 E D
(t ) 对粘弹体 E (t ) 0
(t ) D(t ) 0
1 E (t ) D(t )
The shortcoming of Kelvin element
（1） 无法描述聚合物的应力松弛。 Kelvin element 描述的是理想弹性体的应力松弛响应。 （2）不能反映线形聚合物的蠕变，因为线形聚 合物蠕变中有链的质心位移，形变不能完全回 复。
牛顿流体定律的比例常数为粘度η
y
d d x 1 dx ( ) dt dt y y dt
应变速率为速度梯度
x
∴粘度η等于单位速度梯度时的剪切应力，反映了分 子间由于相互作用而产生的流动阻力，即内摩擦力的 大小，单位为Pa·S
弹性
(1)储能：能量储为应变能 (2)可逆：记忆形状 (3)瞬时：不依赖时间 E＝E（σ, ε, T） 虎克固体
0 1
表现为普弹
(B) 作用时间长(t大），第二、 三项大于第一项，当t，第二 项 0 / E2 <<第三项（0t/)
t 0
表现为粘性
Creep recovery 蠕变回复
e
e1
e2 e3
•撤力一瞬间，键长、键角等次级运动立即回复， 形变直线下降 •通过构象变化，使熵变造成的形变回复 •分子链间质心位移是永久的，留了下来
)
Temperature dependence
分子运动的温度依赖性
Arrhenius Equation 阿累尼乌斯方程
0e
T
E / RT
E - 松弛所需的活化能 activation energy
T
7.2 Creeping and Relaxation 蠕变和应力松弛
7.2.1 蠕变 Creep deformation
7.3 线性粘弹性模型
线性粘弹性：可由服从虎克定律的线性弹性行 为和服从牛顿定律的线性粘性行为的组合来描
述的粘弹性。
模型是唯象的处理
模型由代表理想弹性体的弹簧与代表理想粘性
体的粘壶以不同方式组合而成
E
σ＝E·ε
粘壶
dε σ＝η· dt
弹簧 理想弹性体
理想粘性体
7.3
线性粘弹性模型
7.3.1
d 1 ( ( ) ) dt
两边积分：
d dt ( ( ))
t /
( t ) ( )( 1 e
)
J (t ) J (1 e
t /
)
Kelvin模型的应力松弛方程
0
E
t
模拟交联聚合物的蠕变行为。
当t＝τ时，ε(t)＝ε(∞)（1-e-1）＝0.632ε(∞)
Ideal elastic solid 理想弹性体 形变对时间不存在依赖性
牛顿定律
Newton’s law
d dt
.
粘度 Viscosity 受外力应变 随时间线性 发展，当除 去外力时形 变不可回复。
Ideal viscous liquid 理想粘性液体
外力除去后完全不回复
在恒温下施加一定的恒定外力时，材料的 形变随时间而逐渐增大的力学现象。
例如：软质 PVC 丝钩一定的砝码，会 慢慢伸长；解下砝码，丝慢慢回缩。
高聚物蠕变性能反映了材料的尺寸稳定性。
For polymer deformation
高聚物受到外力作用时，以上三种变形是一起发 生材料的，总形变为：
e
1 1 t t / 0[ (1 e ) ] E1 E2
△蠕变有重要的实用性，考虑尺寸稳定性。
如何防止蠕变？
关键：减少链的质心位移
链间作用力强好还是弱好？
强好 弱好
交联好不好？
链柔顺性大好不好？
CH3 O C CH3 O O C
n
好
好
不好
不好
聚碳酸酯PC Polycarbonate 聚甲醛 POM Polyformaldehyde
O
CH2
n
7.2.2 Stress Relaxation 应力松弛
T T
The relationship with temperature
Time dependence
在一定的温度和外力作用 下，高聚物分子从一种平 衡态过渡到另一种平衡态 需要一定的时间。
Strain
x x0 e
0
E (1 e
t /
t /
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 Time 60 80 100
－Kelvin模型的运动方程
d E dt
蠕变过程：
两边通除E：
0
应力恒定=0
0 d d E E dt dt
( ) E 为Kelvin模型可发生的最大应变，定义 E
0
d ( ) dt
d 1 ( ( ) ) dt
蠕变和应力松弛的根本原因。
△应力松驰的原因：链段热运动，缠结点散开，分子 链相互滑移，内应力逐渐消除。交联聚合物不产生 质心运动，只能松驰到平衡值。 △应力松驰与温度的关系： 温度过高，链段运动受到内摩擦力小，应力很快松 驰掉了，觉察不到。 温度过低，链段运动受到内摩擦力很大，应力松驰 极慢，短时间也不易觉察。 只有在Tg附近，聚合物的应力松驰最为明显。 △应用中，要考虑应力松驰，剩余应力。
7.3.2
Kelvin模型
一个弹簧与一个粘壶并联组成
E
η
F
7.3.2 Kelvin模型
7.3.2
Kelvin模型
Kelvin模型:
可模拟交联聚合物的蠕变过程
7.3.2
Kelvin模型
理论分析：
∵两元件并联 ∴σ= σE +σV ε = ε E =ε V
σE=E·ε
E
dεV σV＝η· dt
d E dt
τ的物理意义： 表征松弛过程进行的快慢。 τ越大，表示材料的松弛过程进行的 越慢，材料越接近理想弹性体
7.3.1
Maxwell 模型
Maxwell模型小结：
由一个弹簧与一个粘壶串联组成 可模拟线形聚合物的应力松弛行为
dε 1 dσ σ 运动方程： = · + dt E dt η
应力松弛方程：
σ(t)=σ(0)·e-t/τ E(t)=E(0)·e-t/τ
τ=
η E
Maxwell element
（1）采用Maxwell模型可以模拟线形聚合物 的应力松驰行为（定性）。 （2）无法描述聚合物的蠕变。 Maxwell element 描述的是理想粘性体的蠕变响应。 （3）对交联聚合物不适用，因为交联聚合物 的应力不可能松弛到零。
7.3.2
Kelvin模型
Maxwell 模型
一个弹簧与一个粘壶串联组成
E η F
t=0 t=∞
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
Maxwell 模型: 可模拟线形聚合物的应力松驰行为。
7.3.1
Maxwell 模型
理论分析：
E η
∵两元件串联 ∴σ = σE = σV ε = εE + εV
0
t
t
蠕变的本质：分子链的质心位移
线性聚合物 交联聚合物
ε
ε
t
t
△蠕变与温度高低的关系
只有在适当的外力作用下，Tg附近有明显的粘弹 性现象。 而 T 过低，外力过小，蠕变很小且很慢，在短时 间不易觉察。 而 T 过高，外力过大，形变发展很快，也觉察不 到蠕变现象。只有在适当外力作用下，Tg以上不 远，链段能够运动，内摩擦阻力也较大，只能缓 慢运动，可看到明显的蠕变现象。
F
σ E＝ E ·ε E
dεV σV＝η· dt
dε 1 dσ σ = · + dt E dt η
－Maxwell模型的运动方程
7.3.1
Maxwell 模型
dε 1 dσ σ = · + dt E dt η
蠕变： σ＝常数，即
dσ =0 dt
dε 1 dσ σ σ = · + = dt E dt η η dε σ= η· 牛顿流体方程 dt
7.1 基本概念 粘弹性
弹性+粘性
弹性：外力 →形变 →应力 →储存能量
外力撤除 →能量释放 →形变恢复
粘性：外力 →形变 →应力 →应力松弛→能量耗散
外力撤除 →永久形变
虎克定律 Hooke’s law
E
弹性模量 E
Elastic modulus
应变在外力的 瞬时达到平衡 值，除去应力 时，应变瞬时 回复。
t＝0时，σ(t)＝σ(0) t＝t时，σ(t)
dσ E = σ η · dt
σ(t)=σ(0)·e-t/τ
η τ= E
7.3.1
Maxwell 模型
σ(t)=σ(0)·e-t/τ E(t)=E(0)·e-t/τ
Maxwell模型的应力松弛方程
σ(t) σ(0)
模拟线形聚合物的应力松驰行为。
t
7.3.1 τ
在恒温下保持一定的恒 定应变时，材料的应力 随时间而逐渐减小的力 学现象。 例如：拉伸一块未交联 的橡胶，至一定长度， 保持长度不变，随时间 的增加，内应力慢慢减 小至零。
聚合物：粘弹体
由于交联聚合物分子链的质心不 能位移，应力只能松驰到平衡值
0
交联聚合物 线形聚合物 t
高分子链的构象重排和分子链滑移是导致材料
τ的物理意义为蠕变过程完成0.632所需时间。 为有别于Maxwell模型，此处的又称为推迟时间。
模拟蠕变回复过程
d 当除去应力时=0， 代入运动方程 E dt
d 0 E dt
d
dt
ε
初始条件为t=0， ε(0)＝ε(∞)
( t ) ( )e t /
Kelvin模型
由一个弹簧与一个粘壶并联组成
可模拟线形聚合物的应力松弛行为 可模拟交联聚合物的蠕变行为
d dε 1 dσ σ 运动方程： = · + 运动方程： E dt dt E dt η
应力松弛： σ(t)=σ(0)·e-t/τ
弹性体和理想粘性体之间。
松弛时间
分子运动三特点
（1） 分子运动的多样性 Varieties of molecular movements （2） 分子运动与时间的关系 The relationship with time （3） 分子运动与温度的关系 多种运动单元 多种运动方式
Small molecules, =10-8～10-10s High molecules, =10-1～10-4s
t1
t2
t •分子链之间发生质心位移
作用时间问题
1 1 t t / 0[ (1 e ) ] E1 E2
(A) 作用时间短(t 小），第二、三项趋 于零
Maxwell模拟的是 理想粘性体的蠕变行为。
1 t t 0 Maxwell ( t ) 0 模型的蠕变： 0 G
stress removed (t)
0 /
0
t
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7.3.1
Maxwell 模型
dε 1 dσ σ = · + dt E dt η dε =0 应力松弛： ε＝常数，即 dt 1 0= E dσ σ + dt η
Maxwell 模型
？
η
τ=
E
=
Pa· s
Pa
= s
当t＝τ时，σ(τ)＝σ(0)·e-1＝0.368σ(0) 松驰时间τ的宏观意义为应力降低到起始应力σ(0)的e-1倍 （0.368倍）时所需的时间 σ(t)
σ(0)
τ
t
松驰时间τ是松驰过程完成 63.2 %时所需的时间
7.3.1
Maxwell 模型
小结： 静态粘弹性现象：
蠕变：在一定的温度和恒定应力的作用下，观察 试样的应变随时间增加而增大的现象。
ε
③
②
①
t
静态粘弹性现象：
应力松弛：在一定的温度和恒定应变的作用下， 观察试样的应力随时间增加而衰减的现象。 0 交联聚合物 线形聚合物
t
线性粘弹性模型： Maxwell模型
由一个弹簧与一个粘壶串联组成
粘性
(1)耗能：能量耗为热能
(2)不可逆：无形状记忆
(3)依时：应变随时间发展
E＝E（σ, ε ,T, t）
牛顿流体
高聚物粘弹性 The viscoelasticity of polymers
•粘弹性是高聚物的一个重要特征，粘弹性赋予 高聚物优越的性能。 •高聚物材料表现出弹性和粘性的结合。 •在实际形变过程中，粘性与弹性总是共存的。 •聚合物受力时，应力同时依赖于形变和形变速 率，即具备固、液二性，其力学行为介于理想
－蠕变回复过程的方程
t
1 注意：对弹性体 E D
(t ) 对粘弹体 E (t ) 0
(t ) D(t ) 0
1 E (t ) D(t )
The shortcoming of Kelvin element
（1） 无法描述聚合物的应力松弛。 Kelvin element 描述的是理想弹性体的应力松弛响应。 （2）不能反映线形聚合物的蠕变，因为线形聚 合物蠕变中有链的质心位移，形变不能完全回 复。
牛顿流体定律的比例常数为粘度η
y
d d x 1 dx ( ) dt dt y y dt
应变速率为速度梯度
x
∴粘度η等于单位速度梯度时的剪切应力，反映了分 子间由于相互作用而产生的流动阻力，即内摩擦力的 大小，单位为Pa·S
弹性
(1)储能：能量储为应变能 (2)可逆：记忆形状 (3)瞬时：不依赖时间 E＝E（σ, ε, T） 虎克固体
0 1
表现为普弹
(B) 作用时间长(t大），第二、 三项大于第一项，当t，第二 项 0 / E2 <<第三项（0t/)
t 0
表现为粘性
Creep recovery 蠕变回复
e
e1
e2 e3
•撤力一瞬间，键长、键角等次级运动立即回复， 形变直线下降 •通过构象变化，使熵变造成的形变回复 •分子链间质心位移是永久的，留了下来
)
Temperature dependence
分子运动的温度依赖性
Arrhenius Equation 阿累尼乌斯方程
0e
T
E / RT
E - 松弛所需的活化能 activation energy
T
7.2 Creeping and Relaxation 蠕变和应力松弛
7.2.1 蠕变 Creep deformation
7.3 线性粘弹性模型
线性粘弹性：可由服从虎克定律的线性弹性行 为和服从牛顿定律的线性粘性行为的组合来描
述的粘弹性。
模型是唯象的处理
模型由代表理想弹性体的弹簧与代表理想粘性
体的粘壶以不同方式组合而成
E
σ＝E·ε
粘壶
dε σ＝η· dt
弹簧 理想弹性体
理想粘性体
7.3
线性粘弹性模型
7.3.1
d 1 ( ( ) ) dt
两边积分：
d dt ( ( ))
t /
( t ) ( )( 1 e
)
J (t ) J (1 e
t /
)
Kelvin模型的应力松弛方程
0
E
t
模拟交联聚合物的蠕变行为。
当t＝τ时，ε(t)＝ε(∞)（1-e-1）＝0.632ε(∞)
Ideal elastic solid 理想弹性体 形变对时间不存在依赖性
牛顿定律
Newton’s law
d dt
.
粘度 Viscosity 受外力应变 随时间线性 发展，当除 去外力时形 变不可回复。
Ideal viscous liquid 理想粘性液体
外力除去后完全不回复
在恒温下施加一定的恒定外力时，材料的 形变随时间而逐渐增大的力学现象。
例如：软质 PVC 丝钩一定的砝码，会 慢慢伸长；解下砝码，丝慢慢回缩。
高聚物蠕变性能反映了材料的尺寸稳定性。
For polymer deformation
高聚物受到外力作用时，以上三种变形是一起发 生材料的，总形变为：
e
1 1 t t / 0[ (1 e ) ] E1 E2
△蠕变有重要的实用性，考虑尺寸稳定性。
如何防止蠕变？
关键：减少链的质心位移
链间作用力强好还是弱好？
强好 弱好
交联好不好？
链柔顺性大好不好？
CH3 O C CH3 O O C
n
好
好
不好
不好
聚碳酸酯PC Polycarbonate 聚甲醛 POM Polyformaldehyde
O
CH2
n
7.2.2 Stress Relaxation 应力松弛
T T
The relationship with temperature
Time dependence
在一定的温度和外力作用 下，高聚物分子从一种平 衡态过渡到另一种平衡态 需要一定的时间。
Strain
x x0 e
0
E (1 e
t /
t /
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 Time 60 80 100
－Kelvin模型的运动方程
d E dt
蠕变过程：
两边通除E：
0
应力恒定=0
0 d d E E dt dt
( ) E 为Kelvin模型可发生的最大应变，定义 E
0
d ( ) dt
d 1 ( ( ) ) dt
蠕变和应力松弛的根本原因。
△应力松驰的原因：链段热运动，缠结点散开，分子 链相互滑移，内应力逐渐消除。交联聚合物不产生 质心运动，只能松驰到平衡值。 △应力松驰与温度的关系： 温度过高，链段运动受到内摩擦力小，应力很快松 驰掉了，觉察不到。 温度过低，链段运动受到内摩擦力很大，应力松驰 极慢，短时间也不易觉察。 只有在Tg附近，聚合物的应力松驰最为明显。 △应用中，要考虑应力松驰，剩余应力。
7.3.2
Kelvin模型
一个弹簧与一个粘壶并联组成
E
η
F
7.3.2 Kelvin模型
7.3.2
Kelvin模型
Kelvin模型:
可模拟交联聚合物的蠕变过程
7.3.2
Kelvin模型
理论分析：
∵两元件并联 ∴σ= σE +σV ε = ε E =ε V
σE=E·ε
E
dεV σV＝η· dt
d E dt
τ的物理意义： 表征松弛过程进行的快慢。 τ越大，表示材料的松弛过程进行的 越慢，材料越接近理想弹性体
7.3.1
Maxwell 模型
Maxwell模型小结：
由一个弹簧与一个粘壶串联组成 可模拟线形聚合物的应力松弛行为
dε 1 dσ σ 运动方程： = · + dt E dt η
应力松弛方程：
σ(t)=σ(0)·e-t/τ E(t)=E(0)·e-t/τ
τ=
η E
Maxwell element
（1）采用Maxwell模型可以模拟线形聚合物 的应力松驰行为（定性）。 （2）无法描述聚合物的蠕变。 Maxwell element 描述的是理想粘性体的蠕变响应。 （3）对交联聚合物不适用，因为交联聚合物 的应力不可能松弛到零。
7.3.2
Kelvin模型
Maxwell 模型
一个弹簧与一个粘壶串联组成
E η F
t=0 t=∞
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
Maxwell 模型: 可模拟线形聚合物的应力松驰行为。
7.3.1
Maxwell 模型
理论分析：
E η
∵两元件串联 ∴σ = σE = σV ε = εE + εV
0
t
t
蠕变的本质：分子链的质心位移
线性聚合物 交联聚合物
ε
ε
t
t
△蠕变与温度高低的关系
只有在适当的外力作用下，Tg附近有明显的粘弹 性现象。 而 T 过低，外力过小，蠕变很小且很慢，在短时 间不易觉察。 而 T 过高，外力过大，形变发展很快，也觉察不 到蠕变现象。只有在适当外力作用下，Tg以上不 远，链段能够运动，内摩擦阻力也较大，只能缓 慢运动，可看到明显的蠕变现象。
F
σ E＝ E ·ε E
dεV σV＝η· dt
dε 1 dσ σ = · + dt E dt η
－Maxwell模型的运动方程
7.3.1
Maxwell 模型
dε 1 dσ σ = · + dt E dt η
蠕变： σ＝常数，即
dσ =0 dt
dε 1 dσ σ σ = · + = dt E dt η η dε σ= η· 牛顿流体方程 dt
7.1 基本概念 粘弹性
弹性+粘性
弹性：外力 →形变 →应力 →储存能量
外力撤除 →能量释放 →形变恢复
粘性：外力 →形变 →应力 →应力松弛→能量耗散
外力撤除 →永久形变
虎克定律 Hooke’s law
E
弹性模量 E
Elastic modulus
应变在外力的 瞬时达到平衡 值，除去应力 时，应变瞬时 回复。
t＝0时，σ(t)＝σ(0) t＝t时，σ(t)
dσ E = σ η · dt
σ(t)=σ(0)·e-t/τ
η τ= E
7.3.1
Maxwell 模型
σ(t)=σ(0)·e-t/τ E(t)=E(0)·e-t/τ
Maxwell模型的应力松弛方程
σ(t) σ(0)
模拟线形聚合物的应力松驰行为。
t
7.3.1 τ
在恒温下保持一定的恒 定应变时，材料的应力 随时间而逐渐减小的力 学现象。 例如：拉伸一块未交联 的橡胶，至一定长度， 保持长度不变，随时间 的增加，内应力慢慢减 小至零。
聚合物：粘弹体
由于交联聚合物分子链的质心不 能位移，应力只能松驰到平衡值
0
交联聚合物 线形聚合物 t
高分子链的构象重排和分子链滑移是导致材料
τ的物理意义为蠕变过程完成0.632所需时间。 为有别于Maxwell模型，此处的又称为推迟时间。
模拟蠕变回复过程
d 当除去应力时=0， 代入运动方程 E dt
d 0 E dt
d
dt
ε
初始条件为t=0， ε(0)＝ε(∞)
( t ) ( )e t /
Kelvin模型
由一个弹簧与一个粘壶并联组成
可模拟线形聚合物的应力松弛行为 可模拟交联聚合物的蠕变行为
d dε 1 dσ σ 运动方程： = · + 运动方程： E dt dt E dt η
应力松弛： σ(t)=σ(0)·e-t/τ
弹性体和理想粘性体之间。
松弛时间
分子运动三特点
（1） 分子运动的多样性 Varieties of molecular movements （2） 分子运动与时间的关系 The relationship with time （3） 分子运动与温度的关系 多种运动单元 多种运动方式
Small molecules, =10-8～10-10s High molecules, =10-1～10-4s