闭区间套定理的推广及应用
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因为 ，（1.4）
则有（1.3）、（1.4）式有
，
由区间套的条件得 .故有 唯一性即证。
1.
证明用反证法证明
（1）假设 ，没有公共点，则 上的任何一点都不是 的公共点，从而，总存在一个开区间 ，使得 不与所有的 相交，即存在 ，使 ，现让 取遍 上的所有点，就得到一个开区间集： 。
（2）由有限覆盖定理，选出有限个开区间：
．
推论若 是区间套 所确定的点，则对任给的 ，若存在 ，使得当 时有
.
注区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间，如 ，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且 ，但不存在属于所有开区间的公共点。
1.2
实数完备性中六个等价定理
(1)闭区间套定理：设闭区间列 适合下列两个条件：
，（1.2）
则有（1.1）、（1.2）式有
，
由区间套的条件得 故有 唯一性即证。
1.
证明设 ，则 是有界无限点集，由聚点定理得数集 聚点 ，若存在一个 ，使 .
再取 ，由 的单调性，当 时， ，这样 内至多有 中的有限多个点，这与 是聚点矛盾，于是得到 ，
同理可证， ，因此有 .
唯一性：最后证明满足 是唯一的，设数 也满足 ，（1.3）
Key Words：Nested intervals;Completeness;equivalence;Extension; Application.
引 言
区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础。
定理2.2(严格开区间套定理) 若 为 中的一个严格开区间套，则存在唯一一点 ，使得
,且 ．
证明由定义2.2条件(i)， 是一个严格递增且有上界的数列。由单调有界定理， 有极限，不妨设 且 .
(6)柯西收敛准则：数列 收敛的充要条件是：对任给的 存在正整数 ，使得当 时有 .
这六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的。即任取其中两个定理它们可以相互证明，它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法，即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点，而这些都是值得我们去注意与发现。
，
唯一性:假设还有另外一点 且 则有 即 .从而唯一性的证。
1.
证明设 是Cantor区间套，则有 可知， 时，有 .由于 单调递增， 中的每一个元素都为 的上界。故 则有 .
所以 , .
故有柯西收敛准则可知： 收敛， .
下证 ，由反证法得：
若 使 由 单调递增知 时 ，所以 两边取极限有 矛盾。
同理若 使 由 单调递减知 时， .所 ，两边取极限有 矛盾，故 .最后证明满足 是唯一的。设数 也满足 因为（1.1）
(i) ；
(ii) ,
则称 为 中的一个严格半闭半开区间套。
定义2.1 设 是 中的半闭半开区间列，如果满足：
(i) ；
(ii) ,
则称 为 中的一个严格半闭半开区间套。
定理2.1[2](严格半开半闭区间套定理) 如果 是 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点 ，使得 ，且 .
证明由定义2.1条件(i)， 是一个严格递增且有上界的数列。由单调有界定理， 有极限，不妨设 且 .
十九世纪，分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步，他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1892年巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理—区间套原理。由此沿柯西开辟的道路建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
，
覆盖闭区间 ，其中
.
（3）因为 只有两个，由闭区间套定理的条件，它们是一个包含着一个，因此其中一定有一个最小区间，设为 ，这时，
，
从而 ，
这就与 矛盾，所以 ， ，应有公共点。
1.2.5 用单调有界定理证明区间套定理
若 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点 ,使得 ， ，即 .（1.5）
证明 为递增有界数列，依单调有界定理， 有极限 ，且有
昌吉学院论文（设计）分类号：
本科毕业论文（设计）密级：
闭区间套定理的推广及应用
系 院数学系
学科门类理学
专 业数学与应用数学
学 号XXXXXXXXX
姓 名XXXXX
指导教师
教师职称讲师
二零一三年五月三日
毕业论文原创Biblioteka Baidu声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
本文从区间套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理。首先，将区间套定理在 上加以推广，形成 上的严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，并且给出了常用度量空间 上的闭区域套集定理和开区域套定理，紧接着结合一般完备度量空间的特性，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，使得区间套定理的应用范围更为广泛。由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等。故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。
同理严格递减有下界的数列 也有极限。由定义2.1条件(ii)应有
.
且 ，从而存在 ．
最后证明唯一性。假如另有 ，使得 ，那么有 ， ．
在上述不等式两边取极限，有 即 ．故原命题成立。
2.1.2 严格开区间套定理及其证明
定义2.2[3,4]设 是 中的开区间列，如果满足：
(i) ；
(ii) ,
则称 为 中的一个严格开区间套。
，（1.6）
同理，递减有界数列 也有极限，并按区间套条件有 ，（1.7）
且 .（1.8）
联合（1.6）、（1.8）即得（1.5）式。最后证明满足（1.6）的 是唯一的。设数 也满足 则由（1.5）式有 .
由区间套条件得 ，故有 .
2 闭区间套定理的推广
2.1
2.1.1 半开半闭区间套定理及其证明
定义2.1[2]设 是 中的半闭半开区间列，如果满足：
声明人签名：导师签名：
年月日年月日
摘 要
在介绍了 空间上闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，形成了 空间上严格半开半闭区间套定理和严格开区间套定理，增大了区间套定理的应用范围。同时给出了 上的区域套定理，紧接着结合一般完备度量空间的性质，把区间套定理推广到一般完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛。最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如应用区间套定理证明Rolle中值定理、Lagrange中值定理、重要极限的存在性，同时也证明了闭区间上的连续函数性质等。分析、讨论了闭区间套定理及其推广形式的实际应用，从实际应用中还可以看出区间套定理主要刻画了实数的完备性，说明了区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值。
作者签名：
年 月 日
毕业论文版权使用授权书
本毕业论文作者完全了解学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学院保留并向有关毕业论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权本学院及以上级别优秀毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索，可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文。
1.2.1
证明设 是一个闭区间套，既满足：
(1) ；
(2) ,
我们证明，存在唯一的实数 ，使得 .
存在性:令 ，显然， 非空且有上界（任一 都是其上界)。据确界原理， 有上确界，设 .现在，我们证明 属于每个闭区间 显然有
.
所以，我们只需证明对于一切自然数 ，都有 .事实上，因为对一切自然数 ， 都是 上的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ，故我们证明了存在一实数 ，使得
关键词:区间套；完备性；等价；推广；应用
The application and extension of the theorem of close nested intervals
Abstract
Based on introducing the theorem of space supra-closed nested interval, we popularize the theorem of closed nested interval through the comprehensive application of analogy method, analytic method and rationalistic method, forming the strictly theorem of half closed interval nested interval and the open nested interval in space, which increases the application range of nested interval theorem. Nested interval theorem are given at the same time, and then combined with the properties of ordinary complete metric space, we popularize the nested interval theorem to ordinary complete metric space, to make the application range of the nested interval theorem more widely. Finally, we illustrate the application of nested interval theorem combined with the analysis of some examples, for example, we prove Rolle mid-value theorem, Lagrange mid-value theorem, and the existence of important limit, and also prove the nature of continuous functions in closed interval. By analyzing and discussing the practical application of the closed interval theorem and its popularizing mode, we can see nested interval theorem mainly describes the completeness of real numbers from the actual application, it explains the theorem of nested interval not only has great theoretical significance, but also has a very good application value.
(i) ；（ii） ，则在实数系中存在唯一一点 ，使得 ，即 .
(2)聚点定理：实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点。
(3)有限覆盖定理：设 为闭区间 的一个( 无限) 开覆盖，则从 中可选出有限个开区间来覆盖 .
(4)确界原理：设 为非空数集，若 有上(下)界，则 有上(下)确界。
(5)单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
1.1 闭区间套定理
定义1.1[1]设闭区间列 具有如下性质：
(i) ；
(ii) ,
则称 为闭区间套，或简称区间套。
这里性质（1）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个的，即各闭区间的端点满足如下不等式：
.
定理1.1[1](闭区间套定理）若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 ，使得 ，即
则有（1.3）、（1.4）式有
，
由区间套的条件得 .故有 唯一性即证。
1.
证明用反证法证明
（1）假设 ，没有公共点，则 上的任何一点都不是 的公共点，从而，总存在一个开区间 ，使得 不与所有的 相交，即存在 ，使 ，现让 取遍 上的所有点，就得到一个开区间集： 。
（2）由有限覆盖定理，选出有限个开区间：
．
推论若 是区间套 所确定的点，则对任给的 ，若存在 ，使得当 时有
.
注区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间，如 ，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且 ，但不存在属于所有开区间的公共点。
1.2
实数完备性中六个等价定理
(1)闭区间套定理：设闭区间列 适合下列两个条件：
，（1.2）
则有（1.1）、（1.2）式有
，
由区间套的条件得 故有 唯一性即证。
1.
证明设 ，则 是有界无限点集，由聚点定理得数集 聚点 ，若存在一个 ，使 .
再取 ，由 的单调性，当 时， ，这样 内至多有 中的有限多个点，这与 是聚点矛盾，于是得到 ，
同理可证， ，因此有 .
唯一性：最后证明满足 是唯一的，设数 也满足 ，（1.3）
Key Words：Nested intervals;Completeness;equivalence;Extension; Application.
引 言
区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础。
定理2.2(严格开区间套定理) 若 为 中的一个严格开区间套，则存在唯一一点 ，使得
,且 ．
证明由定义2.2条件(i)， 是一个严格递增且有上界的数列。由单调有界定理， 有极限，不妨设 且 .
(6)柯西收敛准则：数列 收敛的充要条件是：对任给的 存在正整数 ，使得当 时有 .
这六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的。即任取其中两个定理它们可以相互证明，它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法，即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点，而这些都是值得我们去注意与发现。
，
唯一性:假设还有另外一点 且 则有 即 .从而唯一性的证。
1.
证明设 是Cantor区间套，则有 可知， 时，有 .由于 单调递增， 中的每一个元素都为 的上界。故 则有 .
所以 , .
故有柯西收敛准则可知： 收敛， .
下证 ，由反证法得：
若 使 由 单调递增知 时 ，所以 两边取极限有 矛盾。
同理若 使 由 单调递减知 时， .所 ，两边取极限有 矛盾，故 .最后证明满足 是唯一的。设数 也满足 因为（1.1）
(i) ；
(ii) ,
则称 为 中的一个严格半闭半开区间套。
定义2.1 设 是 中的半闭半开区间列，如果满足：
(i) ；
(ii) ,
则称 为 中的一个严格半闭半开区间套。
定理2.1[2](严格半开半闭区间套定理) 如果 是 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点 ，使得 ，且 .
证明由定义2.1条件(i)， 是一个严格递增且有上界的数列。由单调有界定理， 有极限，不妨设 且 .
十九世纪，分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步，他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1892年巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理—区间套原理。由此沿柯西开辟的道路建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
，
覆盖闭区间 ，其中
.
（3）因为 只有两个，由闭区间套定理的条件，它们是一个包含着一个，因此其中一定有一个最小区间，设为 ，这时，
，
从而 ，
这就与 矛盾，所以 ， ，应有公共点。
1.2.5 用单调有界定理证明区间套定理
若 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点 ,使得 ， ，即 .（1.5）
证明 为递增有界数列，依单调有界定理， 有极限 ，且有
昌吉学院论文（设计）分类号：
本科毕业论文（设计）密级：
闭区间套定理的推广及应用
系 院数学系
学科门类理学
专 业数学与应用数学
学 号XXXXXXXXX
姓 名XXXXX
指导教师
教师职称讲师
二零一三年五月三日
毕业论文原创Biblioteka Baidu声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
本文从区间套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理。首先，将区间套定理在 上加以推广，形成 上的严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，并且给出了常用度量空间 上的闭区域套集定理和开区域套定理，紧接着结合一般完备度量空间的特性，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，使得区间套定理的应用范围更为广泛。由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等。故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。
同理严格递减有下界的数列 也有极限。由定义2.1条件(ii)应有
.
且 ，从而存在 ．
最后证明唯一性。假如另有 ，使得 ，那么有 ， ．
在上述不等式两边取极限，有 即 ．故原命题成立。
2.1.2 严格开区间套定理及其证明
定义2.2[3,4]设 是 中的开区间列，如果满足：
(i) ；
(ii) ,
则称 为 中的一个严格开区间套。
，（1.6）
同理，递减有界数列 也有极限，并按区间套条件有 ，（1.7）
且 .（1.8）
联合（1.6）、（1.8）即得（1.5）式。最后证明满足（1.6）的 是唯一的。设数 也满足 则由（1.5）式有 .
由区间套条件得 ，故有 .
2 闭区间套定理的推广
2.1
2.1.1 半开半闭区间套定理及其证明
定义2.1[2]设 是 中的半闭半开区间列，如果满足：
声明人签名：导师签名：
年月日年月日
摘 要
在介绍了 空间上闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，形成了 空间上严格半开半闭区间套定理和严格开区间套定理，增大了区间套定理的应用范围。同时给出了 上的区域套定理，紧接着结合一般完备度量空间的性质，把区间套定理推广到一般完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛。最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如应用区间套定理证明Rolle中值定理、Lagrange中值定理、重要极限的存在性，同时也证明了闭区间上的连续函数性质等。分析、讨论了闭区间套定理及其推广形式的实际应用，从实际应用中还可以看出区间套定理主要刻画了实数的完备性，说明了区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值。
作者签名：
年 月 日
毕业论文版权使用授权书
本毕业论文作者完全了解学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学院保留并向有关毕业论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权本学院及以上级别优秀毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索，可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文。
1.2.1
证明设 是一个闭区间套，既满足：
(1) ；
(2) ,
我们证明，存在唯一的实数 ，使得 .
存在性:令 ，显然， 非空且有上界（任一 都是其上界)。据确界原理， 有上确界，设 .现在，我们证明 属于每个闭区间 显然有
.
所以，我们只需证明对于一切自然数 ，都有 .事实上，因为对一切自然数 ， 都是 上的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ，故我们证明了存在一实数 ，使得
关键词:区间套；完备性；等价；推广；应用
The application and extension of the theorem of close nested intervals
Abstract
Based on introducing the theorem of space supra-closed nested interval, we popularize the theorem of closed nested interval through the comprehensive application of analogy method, analytic method and rationalistic method, forming the strictly theorem of half closed interval nested interval and the open nested interval in space, which increases the application range of nested interval theorem. Nested interval theorem are given at the same time, and then combined with the properties of ordinary complete metric space, we popularize the nested interval theorem to ordinary complete metric space, to make the application range of the nested interval theorem more widely. Finally, we illustrate the application of nested interval theorem combined with the analysis of some examples, for example, we prove Rolle mid-value theorem, Lagrange mid-value theorem, and the existence of important limit, and also prove the nature of continuous functions in closed interval. By analyzing and discussing the practical application of the closed interval theorem and its popularizing mode, we can see nested interval theorem mainly describes the completeness of real numbers from the actual application, it explains the theorem of nested interval not only has great theoretical significance, but also has a very good application value.
(i) ；（ii） ，则在实数系中存在唯一一点 ，使得 ，即 .
(2)聚点定理：实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点。
(3)有限覆盖定理：设 为闭区间 的一个( 无限) 开覆盖，则从 中可选出有限个开区间来覆盖 .
(4)确界原理：设 为非空数集，若 有上(下)界，则 有上(下)确界。
(5)单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
1.1 闭区间套定理
定义1.1[1]设闭区间列 具有如下性质：
(i) ；
(ii) ,
则称 为闭区间套，或简称区间套。
这里性质（1）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个的，即各闭区间的端点满足如下不等式：
.
定理1.1[1](闭区间套定理）若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 ，使得 ，即